Пифика: новые и обновлённые статьи

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями: теория, 5 класс

Sat, 03 Oct 2026 09:00:00 GMT

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, сложи числители, а знаменатель оставь прежним: 2/9 + 4/9 = 6/9 = 2/3. Вычитание устроено так же: 7/10 - 3/10 = 4/10 = 2/5. Ответ сократи, а из неправильной дроби выдели целую часть. Дроби с разными знаменателями сначала приводят к общему знаменателю, это тема 6 класса.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями: теория, 6 класс

Sat, 03 Oct 2026 09:00:00 GMT

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, приведи их к наименьшему общему знаменателю, то есть к НОК знаменателей, а потом сложи или вычти числители: 2/3 + 3/4 = 8/12 + 9/12 = 17/12 = 15/12. Дроби с одинаковыми знаменателями складывают по числителям, знаменатель не меняется. Смешанные числа складывают по частям: целые с целыми, дроби с дробями.

Сдвиги графика функции y = ax²: теория, 8 класс

Sat, 03 Oct 2026 09:00:00 GMT

Добавляя к функции y = ax² числа внутри или снаружи скобок, можно сдвигать её параболу вдоль осей координат, не меняя формы и направления ветвей.

Сравнение обыкновенных дробей: теория, 5 класс

Fri, 02 Oct 2026 09:00:00 GMT

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель: 5/7 > 3/7. При одинаковых числителях больше дробь с меньшим знаменателем: 2/3 > 2/5. Если различаются и числители, и знаменатели, приведи дроби к общему знаменателю и сравни числители: 3/4 = 9/12, 5/6 = 10/12, значит, 3/4 < 5/6.

Сложение и вычитание смешанных чисел: теория, 5 класс

Fri, 02 Oct 2026 09:00:00 GMT

Смешанные числа складывают по частям: целую часть с целой, дробную с дробной: 23/7 + 12/7 = 35/7. Если дробная часть вышла неправильной, выдели из неё целое: 37/5 = 42/5. При вычитании, когда дробной части не хватает, займи единицу у целой части: 51/4 - 23/4 = 45/4 - 23/4 = 22/4 = 21/2. В ответе дробная часть должна быть правильной и несократимой.

Сложение и вычитание десятичных дробей: теория, 5 класс

Fri, 02 Oct 2026 09:00:00 GMT

Чтобы сложить или вычесть десятичные дроби, запиши их столбиком так, чтобы запятая стояла под запятой. Если знаков после запятой разное количество, допиши справа нули. Дальше считай как с целыми числами, а запятую в ответе ставь под запятыми. Пример: 4,72 + 1,8 = 4,72 + 1,80 = 6,52, а 5 - 0,4 = 4,6.

Умножение и деление десятичных дробей: теория, 5 класс

Fri, 02 Oct 2026 09:00:00 GMT

Чтобы перемножить десятичные дроби, умножь их как целые числа, не глядя на запятые. Потом отдели в ответе справа столько цифр, сколько их после запятой у обоих множителей вместе: 1,2 · 0,3 = 0,36. Чтобы разделить на десятичную дробь, перенеси запятую вправо в делителе и в делимом на одинаковое число знаков: 4,8 : 0,6 = 48 : 6 = 8.

Углы. Виды углов: теория, 5 класс

Fri, 02 Oct 2026 09:00:00 GMT

Угол образуют два луча с общим началом, его вершиной. Угол измеряют в градусах транспортиром. Острый угол меньше 90°, прямой равен 90°, тупой больше 90°, но меньше 180°, развёрнутый равен 180°. Пример: угол 35° острый, а 120° тупой. Биссектриса делит угол пополам: угол 80° она разрезает на два угла по 40°.

Округление чисел: теория, 5 класс

Fri, 02 Oct 2026 09:00:00 GMT

Чтобы округлить число, посмотри на цифру справа от разряда округления. Если это 0, 1, 2, 3 или 4, цифра разряда не меняется. Если 5, 6, 7, 8 или 9, к ней прибавляют 1. Цифры правее в целой части заменяют нулями, в дробной отбрасывают. Пример: 2 738 ≈ 2 700 до сотен, 5,46 ≈ 5,5 до десятых.

Делимость натуральных чисел. Признаки делимости: теория, 6 класс

Fri, 02 Oct 2026 09:00:00 GMT

Число делится на 2, если его последняя цифра чётная, на 5, если оно оканчивается на 0 или 5, на 10, если оканчивается на 0. На 3 и на 9 число делится, если на них делится сумма его цифр: у 738 сумма цифр 7 + 3 + 8 = 18, поэтому 738 делится и на 3, и на 9. Делимость на 4 и на 25 проверяют по двум последним цифрам.

Сравнение дробей: теория, 6 класс

Fri, 02 Oct 2026 09:00:00 GMT

Дроби с одинаковыми знаменателями сравнивают по числителям: 7/9 > 4/9. При одинаковых числителях больше дробь с меньшим знаменателем: 3/5 > 3/8. В остальных случаях дроби приводят к общему знаменателю, равному НОК знаменателей: 5/8 = 15/24 и 7/12 = 14/24, поэтому 5/8 > 7/12. Десятичные дроби сравнивают по разрядам слева направо: 0,7 > 0,65.

Умножение и деление обыкновенных дробей: теория, 6 класс

Fri, 02 Oct 2026 09:00:00 GMT

Чтобы умножить дробь на дробь, перемножь отдельно числители и знаменатели: 2/3 · 4/5 = 8/15. Чтобы разделить дробь на дробь, умножь первую дробь на дробь, обратную второй: 3/4 : 9/8 = 3/4 · 8/9 = 2/3. Смешанные числа сначала переведи в неправильные дроби, а общие множители сокращай до умножения: 11/2 · 2/3 = 3/2 · 2/3 = 1.

Масштаб. Длина окружности и площадь круга: теория, 6 класс

Fri, 02 Oct 2026 09:00:00 GMT

Масштаб 1 : n означает, что 1 см на карте соответствует n см на местности. При масштабе 1 : 100 000 отрезок 3 см на карте равен 3 км в жизни. Длину окружности находят по формуле C = 2π r, площадь круга по формуле S = π r², где π ≈ 3,14. Для r = 10 см получаем C ≈ 62,8 см и S ≈ 314 см².

Сложение и вычитание целых чисел: теория, 6 класс

Fri, 02 Oct 2026 09:00:00 GMT

Чтобы сложить числа с одинаковыми знаками, сложи их модули и поставь общий знак: (-3) + (-5) = -8. У чисел с разными знаками из большего модуля вычти меньший и поставь знак числа с большим модулем: -7 + 4 = -3. Вычитание заменяют сложением с противоположным числом: 2 - 9 = 2 + (-9) = -7, а 4 - (-6) = 4 + 6 = 10.

Умножение и деление целых чисел: теория, 6 класс

Fri, 02 Oct 2026 09:00:00 GMT

При умножении и делении чисел с одинаковыми знаками получается положительное число, с разными знаками отрицательное: (-6) · (-4) = 24, (-18) : 3 = -6. Сначала определи знак ответа, потом перемножь или раздели модули. Если множителей несколько, чётное число минусов даёт плюс, нечётное минус: (-1) · (-2) · (-3) = -6. На ноль делить нельзя.

Начала статистики. Среднее арифметическое, мода, медиана: теория, 6 класс

Fri, 02 Oct 2026 09:00:00 GMT

Среднее арифметическое равно сумме чисел, делённой на их количество. Мода показывает самое частое число ряда, а медиана стоит в середине ряда, записанного по возрастанию. Пример: для ряда 2, 3, 3, 5, 7 среднее равно (2 + 3 + 3 + 5 + 7) : 5 = 4, мода равна 3, медиана тоже 3. При чётном количестве чисел медиана равна среднему двух средних.

Координатная плоскость: теория, 6 класс

Fri, 02 Oct 2026 09:00:00 GMT

Координатную плоскость задают две перпендикулярные оси: горизонтальная Ox и вертикальная Oy, которые пересекаются в начале координат O(0; 0). Положение точки записывают парой чисел (x; y): сначала абсцисса, потом ордината. Точка A(3; -2) лежит на 3 единицы правее начала координат и на 2 ниже, в IV четверти.

Решение задач с помощью уравнений: теория, 7 класс

Fri, 02 Oct 2026 09:00:00 GMT

Чтобы решить задачу с помощью уравнения, обозначь неизвестную величину буквой x, вырази через неё остальные величины и приравняй выражения, которые по условию равны. Пример: в двух классах 58 учеников, во втором на 4 больше. Тогда x + (x + 4) = 58, 2x = 54, x = 27. В классах 27 и 31 ученик. Ответ проверь по условию задачи.

Умножение одночлена на многочлен. Умножение многочлена на многочлен: теория, 7 класс

Fri, 02 Oct 2026 09:00:00 GMT

Чтобы умножить одночлен на многочлен, умножь одночлен на каждый член многочлена: 2x(x - 3) = 2x² - 6x. Чтобы умножить многочлен на многочлен, умножь каждый член первого на каждый член второго и приведи подобные: (x + 2)(x + 5) = x² + 5x + 2x + 10 = x² + 7x + 10. Из двух скобок по два члена получается четыре произведения. Знак перед членом умножай вместе с ним.

Вынесение общего множителя за скобки: теория, 7 класс

Fri, 02 Oct 2026 09:00:00 GMT

Вынести общий множитель за скобки значит записать сумму как произведение: ab + ac = a(b + c). В общий множитель берут НОД коэффициентов и буквы, которые есть в каждом слагаемом, в наименьшей степени: 6x² + 9x = 3x(2x + 3). От слагаемого, вынесенного целиком, в скобке остаётся 1: a² + a = a(a + 1). Проверь себя: раскрой скобки, и должно получиться исходное выражение.

Системы линейных уравнений: теория, 7 класс

Fri, 02 Oct 2026 09:00:00 GMT

Решением системы двух уравнений с двумя переменными называют пару чисел (x; y), при которой верны оба уравнения. Систему решают способом подстановки или способом сложения. Пример: в системе x + y = 7, x - y = 1 сложим уравнения: 2x = 8, x = 4, тогда y = 3. На графике решение системы совпадает с точкой пересечения двух прямых.

Начальные геометрические сведения: точки, прямые, отрезки, лучи: теория, 7 класс

Fri, 02 Oct 2026 09:00:00 GMT

Через две точки проходит ровно одна прямая. У отрезка два конца и конечная длина, у луча есть только начало, у прямой нет ни начала, ни конца. Если точка C лежит на отрезке AB, то AC + CB = AB: при AC = 3 см и CB = 5 см получаем AB = 8 см. Середина отрезка делит его на две равные части.

Преобразование выражений, содержащих квадратные корни: теория, 8 класс

Fri, 02 Oct 2026 09:00:00 GMT

Корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней: √(ab) = √a · √b. Так множитель выносят из-под корня: √50 = √(25 · 2) = 5√2. Складывать можно только корни с одинаковым подкоренным выражением: 5√2 + 3√2 = 8√2. Корень в знаменателе убирают домножением: 6/√3 = 6√3/3 = 2√3. Помни, что √a² = |a|, например √((-5)²) = 5.

Четырёхугольники. Многоугольники: теория, 8 класс

Fri, 02 Oct 2026 09:00:00 GMT

Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n - 2) · 180°, у четырёхугольника это 360°. В параллелограмме противоположные стороны и углы равны, а диагонали точкой пересечения делятся пополам. У прямоугольника диагонали равны, у ромба перпендикулярны. Площадь параллелограмма S = ah, трапеции S = ((a + b)h)/2: при a = 5, b = 9, h = 4 получаем S = 28.

Описанная окружность треугольника: теория, 8 класс

Fri, 02 Oct 2026 09:00:00 GMT

Описанная окружность проходит через все три вершины треугольника. Её центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам. Радиус равен произведению сторон, делённому на учетверённую площадь: R = (abc)/(4S). В прямоугольном треугольнике центр лежит на середине гипотенузы и R = c/2: при катетах 6 и 8 гипотенуза равна 10, а R = 5.

Функции и их свойства (чётность, монотонность, экстремумы): теория, 9 класс

Fri, 02 Oct 2026 09:00:00 GMT

Функция чётная, если f(-x) = f(x), и нечётная, если f(-x) = -f(x); область определения в обоих случаях симметрична относительно нуля. Пример: y = x² чётная, y = x³ нечётная. Функция возрастает на промежутке, если большему x соответствует большее значение f(x). В точке максимума возрастание сменяется убыванием, в точке минимума наоборот.

Степенная функция. Корень n-й степени: теория, 9 класс

Fri, 02 Oct 2026 09:00:00 GMT

Корнем n-й степени из числа a называют число b, для которого bⁿ = a: ∛(-8) = -2, потому что (-2)³ = -8. При чётном n корень существует только при a ≥ 0, а при нечётном n для любого a. Функция y = xⁿ при чётном n чётная, её график симметричен относительно оси Oy; при нечётном n функция нечётная.

Векторы. Основные понятия и действия с векторами: теория, 9 класс

Fri, 02 Oct 2026 09:00:00 GMT

Вектором называют направленный отрезок: у него есть длина и направление. Векторы складывают по правилу треугольника: AB + BC = AC. Вычитание сводится к сложению с противоположным вектором: a - b = a + (-b). При умножении на число k длина вектора умножается на |k|, а при k < 0 направление меняется на противоположное.

Длина окружности и дуги. Площадь круга и сектора: теория, 9 класс

Fri, 02 Oct 2026 09:00:00 GMT

Длину окружности радиуса r находят по формуле C = 2π r, площадь круга по формуле S = π r². Дуга и сектор с центральным углом α составляют долю α/360 от целой окружности и целого круга: l = (π r α)/180, S = (π r² α)/360. Пример: при r = 6 и α = 60° длина дуги равна 2π, а площадь сектора 6π.

Многогранники: призма, пирамида, правильные многогранники: теория, 9 класс

Fri, 02 Oct 2026 09:00:00 GMT

У призмы два равных параллельных основания, а боковые грани у прямой призмы прямоугольники, поэтому S_бок = P_осн · h. У пирамиды одно основание и боковые грани-треугольники с общей вершиной. Объём пирамиды в 3 раза меньше объёма призмы с теми же основанием и высотой. У любого выпуклого многогранника вершины минус рёбра плюс грани дают 2: у куба 8 - 12 + 6 = 2.

Объёмы призмы и пирамиды: теория, 9 класс

Fri, 02 Oct 2026 09:00:00 GMT

Объём призмы равен площади основания, умноженной на высоту: V = S_осн · h. Объём пирамиды с тем же основанием и той же высотой в 3 раза меньше: V = 1/3 S_осн · h. Пример: у призмы с основанием 12 см² и высотой 10 см объём 120 см³, у такой же пирамиды 40 см³. Высоту берут по перпендикуляру, а не по боковому ребру.

Объёмы цилиндра, конуса и шара: теория, 9 класс

Fri, 02 Oct 2026 09:00:00 GMT

Объём цилиндра V = π r² h, объём конуса в 3 раза меньше: V = 1/3π r² h, объём шара V = 4/3π R³. Пример: у цилиндра с r = 3 и h = 5 объём 45π, у конуса с такими же размерами 15π, а у шара радиуса 3 объём 36π. Если в задаче дан диаметр, сначала раздели его пополам.

Натуральные числа и шкалы: теория, 5 класс

Thu, 01 Oct 2026 09:00:00 GMT

Натуральные числа — это числа для счёта предметов: 1, 2, 3 и так далее. Их записывают цифрами по разрядам, сравнивают, отмечают точками на числовом луче. А шкала линейки или термометра — это тот же числовой луч с делениями.

Простейшие уравнения: теория, 5 класс

Thu, 01 Oct 2026 09:00:00 GMT

Чтобы решить простое уравнение, посмотри, каким компонентом действия стоит x, и найди его по правилу. В уравнении x + 48 = 94 неизвестно слагаемое, поэтому из суммы вычитаем известное слагаемое: x = 94 - 48 = 46. Подставь корень обратно: 46 + 48 = 94, равенство верное, значит уравнение решено правильно.

Среднее арифметическое: теория, 5 класс

Thu, 01 Oct 2026 09:00:00 GMT

Чтобы найти среднее арифметическое, сложи все числа и раздели сумму на их количество. Например, для чисел 4, 7 и 10: (4 + 7 + 10) : 3 = 21 : 3 = 7. Так же считают средний балл, среднюю температуру и средний возраст.

Объём прямоугольного параллелепипеда: теория, 5 класс

Thu, 01 Oct 2026 09:00:00 GMT

Чтобы найти объём прямоугольного параллелепипеда, перемножь его длину, ширину и высоту: V = abc. Например, у коробки 5 см × 6 см × 4 см объём равен 5 · 6 · 4 = 120 см³. Все три измерения бери в одних единицах, а ответ записывай в кубических: см³, дм³, м³.

Степень с натуральным показателем: теория, 7 класс

Thu, 01 Oct 2026 09:00:00 GMT

Что такое степень, где у неё основание и показатель, и четыре главных свойства: умножение и деление степеней с одинаковым основанием, степень степени и степень произведения.

Многочлены. Разложение на множители: теория, 7 класс

Thu, 01 Oct 2026 09:00:00 GMT

Разложение многочлена на множители — это представление его в виде произведения более простых выражений, что позволяет решать уравнения, сокращать дроби и упрощать любые алгебраические вычисления.

Признаки равенства треугольников (первый и второй): теория, 7 класс

Thu, 01 Oct 2026 09:00:00 GMT

Первый и второй признаки равенства треугольников позволяют доказать, что два треугольника совпадают по форме и размеру, не измеряя все шесть их элементов.

Третий признак равенства треугольников: теория, 7 класс

Thu, 01 Oct 2026 09:00:00 GMT

Третий признак равенства треугольников позволяет установить равенство двух треугольников, если известны все три стороны одного и соответствующие три стороны другого.

Аксиома параллельных прямых и следствия из неё: теория, 7 класс

Thu, 01 Oct 2026 09:00:00 GMT

Аксиома параллельных прямых устанавливает единственность прямой, параллельной данной через внешнюю точку, и позволяет вывести свойства углов при параллельных прямых с секущей.

Множества. Числовые множества: теория, 8 класс

Thu, 01 Oct 2026 09:00:00 GMT

Множество — фундаментальное понятие математики: любая чётко определённая совокупность объектов, а числовые множества — это множества чисел разной природы, упорядоченные по включению от натуральных до вещественных.

Дискриминант. Формула корней квадратного уравнения: теория, 8 класс

Thu, 01 Oct 2026 09:00:00 GMT

Дискриминант — специальное выражение, которое позволяет определить количество корней квадратного уравнения и найти их по формуле.

Теорема Виета: теория, 8 класс

Thu, 01 Oct 2026 09:00:00 GMT

Теорема Виета связывает корни квадратного уравнения с его коэффициентами через два простых соотношения — сумму и произведение.

Квадратный трёхчлен и его разложение на множители: теория, 8 класс

Thu, 01 Oct 2026 09:00:00 GMT

Квадратный трёхчлен это многочлен ax² + bx + c, где a ≠ 0. Если у него есть корни x₁ и x₂, его можно разложить на множители: a(x - x₁)(x - x₂). Если дискриминант отрицательный, разложить нельзя.

Биквадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным: теория, 8 класс

Thu, 01 Oct 2026 09:00:00 GMT

Биквадратное уравнение имеет вид ax⁴ + bx² + c = 0. Его решают заменой x² = t: получается обычное квадратное уравнение. Потом из каждого неотрицательного корня t находят x. Например, у уравнения x⁴ - 13x² + 36 = 0 корни ± 2 и ± 3.

Решение линейных неравенств с одной переменной: теория, 8 класс

Thu, 01 Oct 2026 09:00:00 GMT

Линейное неравенство с одной переменной решается аналогично уравнению, но с одним ключевым правилом: при умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Трапеция. Равнобедренная трапеция: теория, 8 класс

Thu, 01 Oct 2026 09:00:00 GMT

Трапеция — четырёхугольник с одной парой параллельных сторон; равнобедренная трапеция обладает дополнительными свойствами симметрии, которые упрощают решение задач.

Средняя линия треугольника: теория, 8 класс

Thu, 01 Oct 2026 09:00:00 GMT

Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон. Она параллельна третьей стороне и равна её половине. Средняя линия отсекает от треугольника маленький треугольник, площадь которого в 4 раза меньше.

Осевая и центральная симметрия: теория, 8 класс

Thu, 01 Oct 2026 09:00:00 GMT

Осевая и центральная симметрия — это два вида преобразований плоскости, при которых фигура отображается на равную ей фигуру относительно прямой или точки.

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника: теория, 8 класс

Thu, 01 Oct 2026 09:00:00 GMT

Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему. В треугольнике со сторонами 3, 4 и 5 у угла напротив катета 3 синус 0,6, косинус 0,8, тангенс 0,75.

Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках: теория, 8 класс

Thu, 01 Oct 2026 09:00:00 GMT

Теорема Фалеса: если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то и на другой стороне они отсекают равные отрезки. Обобщение: параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. По теореме Фалеса любой отрезок можно разделить на равные части.

Подобные треугольники. Признаки подобия: теория, 8 класс

Thu, 01 Oct 2026 09:00:00 GMT

Два треугольника называются подобными, если их углы равны попарно, а стороны пропорциональны — тема объясняет, как это распознавать и применять.

Центральные и вписанные углы: теория, 8 класс

Thu, 01 Oct 2026 09:00:00 GMT

Центральный угол равен дуге, которую он опирает, а вписанный угол равен половине той же дуги — это ключевое соотношение связывает углы в круге с его дугами.

Решение квадратных неравенств: теория, 9 класс

Thu, 01 Oct 2026 09:00:00 GMT

Квадратное неравенство — это неравенство вида ax² + bx + c > 0 (или с другим знаком), решить которое значит найти все значения x, при которых оно выполняется.

Рациональные неравенства: теория, 9 класс

Thu, 01 Oct 2026 09:00:00 GMT

Рациональные неравенства — это неравенства, в которых встречаются дроби с переменной в знаменателе; их решают методом замены на знакочередующиеся промежутки.

Арифметическая прогрессия: теория, 9 класс

Thu, 01 Oct 2026 09:00:00 GMT

Арифметическая прогрессия — числовая последовательность, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число.

Синус, косинус и тангенс угла от 0° до 180°: теория, 9 класс

Thu, 01 Oct 2026 09:00:00 GMT

Синус и косинус угла от 0° до 180° это координаты точки на единичной полуокружности: косинус равен абсциссе, синус равен ординате. У тупого угла синус положительный, а косинус и тангенс отрицательные. Например, cos 120° = -1/2.

Теорема косинусов: теория, 9 класс

Thu, 01 Oct 2026 09:00:00 GMT

Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус их удвоенное произведение на косинус угла между ними. Она помогает найти третью сторону по двум сторонам и углу между ними или угол по трём сторонам.

Теорема синусов: теория, 9 класс

Thu, 01 Oct 2026 09:00:00 GMT

Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, а их отношение равно диаметру описанной окружности. С её помощью находят стороны по стороне и двум углам и радиус описанной окружности: R = a/(2sin α).