Геометрические места точек

Геометрическое место точек (ГМТ) с некоторым свойством $P$ — это фигура (множество точек), такая что:

• каждая точка этой фигуры обладает свойством $P$;
• каждая точка, обладающая свойством $P$, принадлежит этой фигуре.

Оба условия равно обязательны. Первое говорит: «все точки фигуры подходят». Второе: «других точек с этим свойством нет». Если выполнено только одно — это ещё не ГМТ.

Как доказывают ГМТ. Чтобы строго установить, что фигура $F$ является ГМТ с условием $P$, нужно доказать два утверждения:

1. Если точка $M$ принадлежит $F$, то $M$ обладает свойством $P$ (прямое включение).
2. Если точка $M$ обладает свойством $P$, то $M$ принадлежит $F$ (обратное включение).

На практике в школьных задачах часто называют ГМТ и описывают его словами, опираясь на уже доказанные теоремы.

Серединный перпендикуляр отрезка. Пусть дан отрезок $AB$. ГМТ, равноудалённых от точек $A$ и $B$, является серединный перпендикуляр этого отрезка — прямая, проходящая через середину $AB$ перпендикулярно ему.

Формально: точка $M$ принадлежит серединному перпендикуляру отрезка $AB$ тогда и только тогда, когда $MA=MB$.

Биссектриса угла. ГМТ, равноудалённых от сторон угла, является биссектриса этого угла (луч, делящий угол пополам). Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра из этой точки на прямую.

Формально: точка $M$ внутри угла равноудалена от его сторон тогда и только тогда, когда $M$ лежит на биссектрисе угла.

Эти два ГМТ — основа для доказательства свойств серединных перпендикуляров и биссектрис треугольника, а также построения описанной и вписанной окружностей.

ГМТ, находящихся на данном расстоянии $r$ от данной точки $O$, является окружность с центром $O$ и радиусом $r$.

Это и есть само определение окружности: $\{M\mid OM=r\}$.

Частный случай. Если задано расстояние, строго меньшее $r$, ГМТ — круг (без граничной окружности). Если расстояние не превышает $r$ — замкнутый круг.

Окружность как ГМТ в задачах. Если в условии сказано «точка движется так, что её расстояние до фиксированной точки $O$ постоянно и равно $r$» — след точки есть окружность. Это фундаментальный приём: свести условие на расстояние к уравнению окружности.

Равноудалённые от двух параллельных прямых. Пусть прямые $a\parallel b$, расстояние между ними равно $d$. ГМТ, равноудалённых от $a$ и $b$, является прямая, параллельная обеим и проходящая посередине между ними (на расстоянии $\frac{d}{2}$ от каждой).

Равноудалённые от двух пересекающихся прямых. Если прямые $a$ и $b$ пересекаются, ГМТ — пара биссектрис образованных ими углов (две взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через точку пересечения).

Равноудалённые от точки и прямой. ГМТ точек, равноудалённых от данной точки $F$ (фокуса) и данной прямой $l$ (директрисы), является парабола. Это определение параболы как ГМТ — оно используется в аналитической геометрии и в задачах ЕГЭ профильного уровня.

В школьном курсе 9 класса параболу чаще изучают как график функции $y=a{x}^2$, но связь с ГМТ важна для понимания природы кривой.

Метод ГМТ в задачах. Многие геометрические задачи решаются по схеме:

1. Выразить условие на искомую точку как принадлежность к некоторому ГМТ.
2. Если условий несколько — найти пересечение нескольких ГМТ.
3. Результат — конкретная точка, несколько точек или фигура.

Пример логики. Задача: найти точку, равноудалённую от вершин треугольника. Условие $MA=MB$ задаёт серединный перпендикуляр $AB$. Условие $MB=MC$ задаёт серединный перпендикуляр $BC$. Искомая точка — пересечение двух серединных перпендикуляров, то есть центр описанной окружности треугольника.

Аналогично: точка, равноудалённая от всех сторон треугольника — пересечение биссектрис — центр вписанной окружности.

ГМТ в пространстве. В пространстве серединный перпендикуляр отрезка обобщается до серединно-перпендикулярной плоскости. ГМТ точек пространства, равноудалённых от данной точки — сфера. Эти факты используются в стереометрии (10–11 класс).