Шпора по формулам

Все главные формулы 5–9 класса в одном месте. Ищи по названию — пригодится прямо во время решения.

Дроби

5–6 класс

\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a + c}{b}

Сложение дробей с одинаковым знаменателем

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + b c}{b d}

Сложение дробей с разными знаменателями

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}

Умножение дробей

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

Деление дробей (умножить на обратную)

\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}

Основное свойство дроби

Потренировать эти формулы

Сложение и вычитание дробей

％

Проценты и пропорции

5–6 класс

p % от a = \frac{a \cdot p}{100}

Процент от числа

a = \frac{b \cdot 100}{p}

Число по его проценту

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow a d = b c

Основное свойство пропорции (крест-накрест)

масштаб = \frac{на карте}{на местности}

Масштаб

Потренировать эти формулы

Проценты Отношения и пропорции

Степени и корни

7–9 класс

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

Произведение степеней

a^{m} : a^{n} = a^{m - n}

Частное степеней

(a^{m})^{n} = a^{mn}

Степень степени

(ab)^{n} = a^{n} b^{n}

Степень произведения

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

Отрицательная степень

a^{0} = 1 (a \neq = 0)

Нулевая степень

ab = a \cdot b

Корень из произведения

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}

Корень из дроби

Потренировать эти формулы

Степени Свойства корня

Сокращённое умножение

7 класс

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Квадрат суммы

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

Квадрат разности

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

Разность квадратов

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

Сумма кубов

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

Разность кубов

Потренировать эти формулы

Формулы сокращённого умножения

Уравнения и функции

7–9 класс

y = k x + b

Линейная функция (k — наклон, b — сдвиг)

a x^{2} + b x + c = 0

Квадратное уравнение

D = b^{2} - 4 a c

Дискриминант

x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}

Корни квадратного уравнения

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

Теорема Виета

y = a x^{2} + b x + c, x_{в} = - \frac{b}{2 a}

Парабола: абсцисса вершины

Потренировать эти формулы

Дискриминант Линейная функция

Прогрессии

9 класс

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

n-й член арифметической прогрессии

S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n

Сумма арифметической прогрессии

b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}

n-й член геометрической прогрессии

S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}

Сумма геометрической прогрессии

Потренировать эти формулы

Арифметическая Геометрическая

Периметр и площадь

5–8 класс

P = 4 a, S = a^{2}

Квадрат: периметр и площадь

P = 2 (a + b), S = ab

Прямоугольник

S = a \cdot h

Параллелограмм

S = \frac{1}{2} a \cdot h

Треугольник (через высоту)

S = \frac{a + b}{2} \cdot h

Трапеция

S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}

Ромб (через диагонали)

Потренировать эти формулы

Площадь прямоугольника Площадь треугольника

Окружность и круг

6–9 класс

C = 2 π R = π d

Длина окружности

S = π R^{2}

Площадь круга

l = \frac{π R n}{18 0 ^{\circ}}

Длина дуги (n градусов)

π \approx 3, 14

Число пи

Потренировать эти формулы

Окружность и круг

Объёмы

5–9 класс

V = a^{3}

Куб

V = ab c

Прямоугольный параллелепипед

V = S_{осн} \cdot h

Призма / цилиндр

V = π R^{2} h

Цилиндр

Потренировать эти формулы

Объём параллелепипеда Цилиндр, конус, шар

Треугольники

7–9 класс

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Теорема Пифагора (c — гипотенуза)

α + β + γ = 18 0^{\circ}

Сумма углов треугольника

S = \frac{1}{2} ab sin γ

Площадь через две стороны и угол

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C}

Теорема синусов

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C

Теорема косинусов

Потренировать эти формулы

Теорема Пифагора

Тригонометрия (прямоугольный треугольник)

8–9 класс

sin α = \frac{противолежащий}{гипотенуза}

Синус острого угла

cos α = \frac{прилежащий}{гипотенуза}

Косинус острого угла

t g α = \frac{противолежащий}{прилежащий}

Тангенс острого угла

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

Основное тригонометрическое тождество

Потренировать эти формулы

Синус, косинус, тангенс