5 класс 6 класс 5 мин чтения

НОД и НОК: как найти и в чём разница

Обновлено 24 сентября 2026 г. · Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: НОД (наибольший общий делитель) равен самому большому числу, на которое делятся оба числа. НОК (наименьшее общее кратное) равно самому маленькому числу, которое делится на оба. Для 12 и 18 НОД равен 6, а НОК равен 36. Проверка:

6 \cdot 36 = 216

, и

12 \cdot 18

тоже 216.

12 = 2 · 2 · 3 и 18 = 2 · 3 · 3. Общие множители дают НОД = 6, общие и остальные дают НОК = 36.

Проверь себя за минуту

3 задания по теме с проверкой и решением. Бесплатно.

Делитель и кратное: в чём разница

Делитель числа 12 это число, на которое 12 делится без остатка: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Кратное числа 12 это число, которое само делится на 12: 12, 24, 36, 48…

Делителей у числа конечное количество, и все они не больше самого числа. Кратных бесконечно много, и все они не меньше числа.

Что такое НОД

Правило. НОД двух чисел равен самому большому числу, на которое делятся оба.

Найдём НОД(12, 18) перебором:

делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12;
делители 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Общие делители 1, 2, 3 и 6. Самый большой из них 6, значит, НОД(12, 18) = 6.

Если НОД равен 1, числа называют взаимно простыми. Например, 8 и 15: у них нет общих делителей, кроме единицы.

Что такое НОК

Правило. НОК двух чисел равно самому маленькому числу, которое делится на оба.

Найдём НОК(12, 18). Выпишем кратные большего числа и ищем первое, которое делится на меньшее:

кратные 18: 18, 36;
18 на 12 не делится, а 36 делится.

Значит, НОК(12, 18) = 36.

×12122436

×181836

Кратные 12: 12, 24, 36. Кратные 18: 18, 36. Первое общее — 36, это НОК.

НОД через разложение на простые множители

Для больших чисел перебор долгий. Разложи оба числа на простые множители:

$72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3, 60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$

Правило. Перемножь множители, которые есть в обоих разложениях. Каждый бери столько раз, сколько он встречается в обоих.

Общие множители: два раза 2 и один раз 3.

$НОД (72, 60) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$

Проверка: $72 : 12 = 6$ , $60 : 12 = 5$ . У 6 и 5 общих делителей больше нет, значит, 12 и правда наибольший.

Найди НОД и НОК своих чисел

Первое число Второе число

\text{НОД} = 12, \; \text{НОК} = 360

72 = 2^{3} \cdot 3^{2}, \quad 60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5

НОД: перемножаем общие множители

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

НОК: к 72 дописываем, чего не хватает из 60

72 \cdot 5 = 360

Проверка:

12 \cdot 360 = 72 \cdot 60 = 4\,320

Открыть калькулятор отдельно

НОК через разложение на простые множители

Правило. Возьми разложение большего числа и допиши множители, которых в нём не хватает из разложения меньшего.

$72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3, 60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$

В разложении 72 нет пятёрки. Дописываем её:

$НОК (72, 60) = 72 \cdot 5 = 360$

Проверка: $360 : 72 = 5$ и $360 : 60 = 6$ . Оба деления без остатка.

Алгоритм Евклида для больших чисел

Раскладывать числа вроде 252 и 105 тоже долго. Алгоритм Евклида находит НОД одними делениями.

Правило. Дели большее число на меньшее с остатком. Потом дели делитель на остаток. Повторяй, пока остаток не станет нулём. Последний ненулевой остаток и есть НОД.

$252 = 2 \cdot 105 + 42$
$105 = 2 \cdot 42 + 21$
$42 = 2 \cdot 21 + 0$

НОД(252, 105) = 21. Проверка: $252 : 21 = 12$ и $105 : 21 = 5$ .

Как связаны НОД и НОК

Для двух чисел работает формула:

$НОД (a, b) \cdot НОК (a, b) = a \cdot b$

Значит, НОК можно найти через НОД: $НОК = \frac{a \cdot b}{НОД}$ .

$НОК (252, 105) = \frac{252 \cdot 105}{21} = \frac{26 460}{21} = 1260$

Два частных случая экономят время:

Числа	Что заметили	НОД	НОК
7 и 21	21 делится на 7	7	21
8 и 15	взаимно простые	1	120
12 и 18	общий случай	6	36

НОД и НОК трёх чисел

Правила те же. Раскладываем все три числа:

$12 = 2^{2} \cdot 3, 18 = 2 \cdot 3^{2}, 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

НОД берёт множители, которые есть во всех трёх, в самой маленькой степени: $2 \cdot 3 = 6$ .

НОК берёт все множители в самой большой степени: $2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5 = 180$ .

Проверка: $180 : 12 = 15$ , $180 : 18 = 10$ , $180 : 30 = 6$ .

Задачи на НОД и НОК с решениями

Правило. Делим что-то поровну и ищем наибольшее количество частей? Нужен НОД. Ждём, когда события совпадут, и ищем наименьшее время? Нужен НОК.

Задача на НОД. Есть 24 яблока и 36 груш. Какое наибольшее число одинаковых подарков можно собрать из всех фруктов? НОД(24, 36) = 12 подарков, в каждом 2 яблока и 3 груши.

Задача на НОК. Один автобус уходит с остановки каждые 12 минут, другой каждые 18. В 8:00 они ушли вместе. Когда снова уйдут вместе? НОК(12, 18) = 36, значит, в 8:36.

В дробях. НОД сокращает дробь: $\frac{24}{36} = \frac{2}{3}$ , мы поделили на НОД 12. А НОК служит общим знаменателем при сложении дробей.

Частые ошибки

Перепутали НОД и НОК. Написали НОД(12, 18) = 36. НОД не бывает больше меньшего из чисел.
Всегда перемножают числа. Для 12 и 18 получили НОК 216. Произведение равно НОК только у взаимно простых чисел.
Взяли общий множитель один раз. У 72 и 60 двойка общая дважды, поэтому НОД равен 12, а не 6.
Для НОК взяли только общие множители. Так получается НОД, а не НОК.
Посчитали 1 простым числом. Единица не простое и не составное число, в разложение её не пишут.
Забыли множитель меньшего числа. В НОК(72, 60) не дописали пятёрку и получили 72.

Частые вопросы

В чём разница между НОД и НОК?

НОД делит оба числа и не бывает больше меньшего из них. НОК делится на оба числа и не бывает меньше большего. Для 12 и 18 НОД равен 6, а НОК равен 36.

Как быстро найти НОК двух чисел?

Выпиши кратные большего числа и остановись на первом, которое делится на меньшее. Для 8 и 12: 12, 24. Число 24 делится на 8, значит, НОК равен 24.

В каком классе проходят НОД и НОК?

В 6 классе, в теме «Делимость натуральных чисел». Там же учат признаки делимости и разложение на простые множители.

Зачем нужны НОД и НОК?

НОД сокращает дроби и помогает делить предметы поровну. НОК даёт общий знаменатель для сложения дробей и отвечает на вопрос, когда совпадут два повторяющихся события.