Геометрическое место точек: задания с ответами, 7 класс

0 из 10

Геометрическое место точек

…

Примеры заданий с ответами

1Что называют геометрическим местом точек (ГМТ)?

отрезок, соединяющий две точки
любую одну точку плоскости
множество всех точек, обладающих заданным свойством
множество точек, лежащих на одной прямой

ГМТ — это фигура, состоящая ИЗ ВСЕХ точек, у которых есть указанное свойство, и только из них.
Например, окружность — это ГМТ точек, удалённых от центра на радиус.

Ответ: множество всех точек, обладающих заданным свойством

2Точка

K

лежит внутри угла и равноудалена от обеих его сторон. Где находится точка

K

на биссектрисе угла
в вершине угла
вне угла
на одной из сторон угла

Биссектриса — ГМТ точек внутри угла, равноудалённых от его сторон.
Значит, точка $K$ лежит именно на биссектрисе.

Ответ: на биссектрисе угла

3Точка

O

равноудалена от всех трёх вершин треугольника

A B C

. Как найти такую точку

O

как точку пересечения высот
как точку пересечения биссектрис углов
как середину наибольшей стороны
как точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам

Точка, равноудалённая от $A$ и $B$ , лежит на серединном перпендикуляре к $A B$ ; от $B$ и $C$ — к $B C$ .
Значит, нужная точка — пересечение серединных перпендикуляров (центр описанной окружности).

Ответ: как точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам

4Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
1) Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.
2) Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
3) Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90°.
В ответ запишите номер истинного высказывания.

1) Неверно: медианой является только биссектриса, проведённая к основанию.
2) Верно: это свойство касательной.
3) Неверно: сумма всех углов равна $180°$ , а $90°$ составляет сумма острых углов.

Ответ: 2

5Точка

M

лежит на серединном перпендикуляре к отрезку

A B

A B = 22

см, периметр треугольника

A M B

равен

48

см. Найди

M A

Точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка: $M A = M B$ .
$M A + M B = 48 - 22 = 26$ см.
$M A = 26 : 2 = 13$ см.

Ответ: 13 см

6Прямые

M A

M B

касаются окружности с центром

O

в точках

A

B

∠ A M B = 100°

. Найди угол

A O B

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $∠ O A M = ∠ O B M = 90°$ .
Прямоугольные треугольники $O A M$ и $O B M$ равны (общая гипотенуза $O M$ , катеты $O A = O B$ ), поэтому $∠ A M O = 100° : 2 = 50°$ и $∠ A O M = 90° - 50° = 40°$ .
$∠ A O B = 2 \cdot 40° = 80°$ .

Ответ: 80 °