Как решать квадратные уравнения

Квадратное уравнение выглядит так: $a{x}^2+bx+c=0$, где $a\ne 0$.

Числа $a$, $b$ и $c$ называют коэффициентами. $a$ стоит при $x^2$, $b$ при $x$, а $c$ называют свободным членом.

По дискриминанту видно, сколько корней у уравнения, ещё до того, как ты начнёшь их искать.

Посчитаем для трёх уравнений:

• $x^2-5x+6=0$: $D=(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1$. Два корня.
• $x^2-6x+9=0$: $D=36-36=0$. Один корень.
• $x^2+2x+5=0$: $D=4-20=-16$. Корней нет.

Знак «±» даёт два корня: один с плюсом, другой с минусом.

Решим $x^2-5x+6=0$. Мы уже знаем, что $D=1$:

$x_1=\frac{5+1}{2}=3,x_2=\frac{5-1}{2}=2$

Ещё пример: $2x^2+3x-2=0$.

$D=3^2-4\cdot 2\cdot (-2)=9+16=25$

$x_1=\frac{-3+5}{4}=\frac{1}{2},x_2=\frac{-3-5}{4}=-2$

Когда $D=0$, оба корня совпадают. Для $x^2-6x+9=0$ получаем $x=\frac{6}{2}=3$.

Если $b=0$ или $c=0$, уравнение называют неполным. Его решают быстрее, без дискриминанта.

Нет свободного члена ($c=0$). Выносим $x$ за скобки:

$3x^2-12x=0\Rightarrow 3x(x-4)=0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Значит, $x=0$ или $x=4$.

Нет слагаемого с $x$ ($b=0$). Переносим число и извлекаем корень:

$x^2-16=0\Rightarrow x^2=16\Rightarrow x=\pm 4$

Ещё пример: $2x^2-18=0$, тогда $x^2=9$ и $x=\pm 3$. А у $x^2+9=0$ корней нет: квадрат не бывает отрицательным.

Нет ни $b$, ни $c$. У уравнения $5x^2=0$ один корень $x=0$.

Уравнение с $a=1$ называют приведённым: $x^2+px+q=0$.

Решим $x^2-7x+12=0$. Ищем два числа: сумма 7, произведение 12. Это 3 и 4.

Решим $x^2+x-6=0$. Сумма $-1$, произведение $-6$. Подходят 2 и $-3$: $2+(-3)=-1$ и $2\cdot (-3)=-6$.

Для любого $a$ теорема тоже работает: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$, $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$.

При чётном $b$ удобно взять половину: $k=\frac{b}{2}$. Тогда

$D_1=k^2-ac,x=\frac{-k\pm \sqrt{D_1}}{a}$

Решим $x^2-6x+5=0$. Здесь $k=-3$, $D_1=9-5=4$:

$x=3\pm 2,x_1=5,x_2=1$

По обычной формуле выйдет то же: $D=36-20=16$, $x=\frac{6\pm 4}{2}$, то есть 5 и 1. Просто числа меньше.

Сначала перенеси всё в левую часть, чтобы справа остался ноль.

$x^2=3x+10\Rightarrow x^2-3x-10=0$

$D=9+40=49$, $x=\frac{3\pm 7}{2}$, корни 5 и $-2$.

Если $a$ отрицательное, умножь уравнение на $-1$. Из $-x^2+4x-4=0$ получится $x^2-4x+4=0$, $D=0$, $x=2$.

Если уравнение уже разложено на множители, раскрывать скобки не нужно. В $(x+2)(x-3)=0$ сразу видно: $x=-2$ или $x=3$.

• Потеряли минус у b. В $x^2-5x+6=0$ написали $-b=-5$. Правильно $-b=5$.
• Неверно возвели в квадрат. При $b=-3$ получили $b^2=-9$. Квадрат не бывает отрицательным: $(-3{)}^2=9$.
• Поделили на 2a только корень. Записали $-b\pm \frac{\sqrt{D}}{2a}$. На $2a$ делится весь числитель.
• Потеряли корень x = 0. Поделили $3x^2=12x$ на $x$. Нужно выносить за скобки.
• Забыли второй корень. Из $x^2=16$ записали только $x=4$. Правильно $x=\pm 4$.
• Извлекли корень из отрицательного D. При $D<0$ ответ такой: корней нет.