7 класс Геометрия 8 мин чтения

Прямоугольный треугольник. Признаки равенства прямоугольных треугольников

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Прямоугольный треугольник — особый вид треугольника с прямым углом; для него действуют специальные признаки равенства, использующие гипотенузу и катеты.

Проверь себя · 1 из 3

Из точки

M

к прямой

A B

проведены перпендикуляр

M H

и наклонная

M A

(см. чертёж). Что из них короче?

Прямоугольные треугольники встречаются в строительстве, навигации и технике каждый раз, когда нужно связать горизонталь, вертикаль и наклонную линию. Умея определять равенство таких треугольников, ты сможешь доказывать свойства фигур и решать задачи на нахождение расстояний и углов.

прямой угол — 90°, напротив него гипотенуза

Содержание 10

Определение и элементы прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов равен $9 0^{\circ}$ .

Элементы прямоугольного треугольника $A B C$ , где $∠ C = 9 0^{\circ}$ :

Катеты — стороны $A C$ и $B C$ , образующие прямой угол.
Гипотенуза — сторона $A B$ , лежащая напротив прямого угла. Гипотенуза всегда длиннее каждого катета.
Острые углы — углы $∠ A$ и $∠ B$ ; их сумма равна $9 0^{\circ}$ , так как сумма всех углов треугольника равна $18 0^{\circ}$ .

Формально: $∠ A + ∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ}$ , откуда $∠ A + ∠ B = 9 0^{\circ}$ . Это означает, что оба угла при катетах — острые.

Общие признаки равенства треугольников (повторение)

Напомним: два треугольника равны, если можно установить соответствие их вершин такое, что все соответствующие стороны и углы равны. Общих признаков равенства три:

Признак «сторона-угол-сторона» (СУС): две стороны и угол между ними.
Признак «угол-сторона-угол» (УСУ): два угла и сторона между ними.
Признак «сторона-сторона-сторона» (ССС): три стороны.

Для прямоугольных треугольников прямой угол известен заранее, поэтому достаточно задать меньше элементов. Это и порождает два специальных (дополнительных) признака.

Признак равенства по гипотенузе и катету

Признак (гипотенуза и катет): если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Дано: $△ A B C$ и $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ , $∠ C = ∠ C_{1} = 9 0^{\circ}$ , $A B = A_{1} B_{1}$ (гипотенузы), $A C = A_{1} C_{1}$ (катеты).

Почему это работает? По теореме Пифагора второй катет однозначно определяется через гипотенузу и первый катет: $B C = A B^{2} - A C^{2}$ . Значит, $B C = B_{1} C_{1}$ . Теперь все три стороны равны, и по признаку ССС треугольники равны.

Этот признак удобен, когда в задаче явно указаны гипотенуза и один катет.

Признак равенства по двум катетам

Признак (два катета): если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого, то такие треугольники равны.

Дано: $∠ C = ∠ C_{1} = 9 0^{\circ}$ , $A C = A_{1} C_{1}$ , $B C = B_{1} C_{1}$ .

Почему это работает? Прямые углы равны ( $9 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ ), а два катета — это стороны, образующие этот угол. Значит, выполняется общий признак СУС (две стороны и угол между ними). Следовательно, $△ A B C = △ A_{1} B_{1} C_{1}$ .

Этот признак — просто частный случай СУС, где роль угла играет прямой угол.

Признак равенства по гипотенузе и острому углу

Признак (гипотенуза и острый угол): если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Дано: $∠ C = ∠ C_{1} = 9 0^{\circ}$ , $A B = A_{1} B_{1}$ , $∠ A = ∠ A_{1}$ .

Почему это работает? Из равенства прямых углов и острых углов: $∠ B = 9 0^{\circ} - ∠ A = 9 0^{\circ} - ∠ A_{1} = ∠ B_{1}$ . Теперь два угла и сторона между ними (гипотенуза лежит между $∠ A$ и $∠ B$ ) равны — это признак УСУ.

Итоговая таблица признаков равенства прямоугольных треугольников:

Признак	Что равно
Два катета (СУС)	$a = a_{1}$ , $b = b_{1}$
Гипотенуза и катет	$c = c_{1}$ , $a = a_{1}$
Гипотенуза и острый угол	$c = c_{1}$ , $∠ A = ∠ A_{1}$

Ключевые формулы

∠ A + ∠ B = 9 0^{\circ}

Сумма острых углов прямоугольного треугольника

c^{2} = a^{2} + b^{2}

Теорема Пифагора (связь сторон):

c

— гипотенуза,

a

b

— катеты

a = c^{2} - b^{2}

Нахождение неизвестного катета через гипотенузу и другой катет

Запомни

Прямой угол в прямоугольном треугольнике всегда один; оба оставшихся угла — острые и в сумме дают $9 0^{\circ}$ .
Гипотенуза — сторона напротив прямого угла, она всегда самая длинная.
Два прямоугольных треугольника равны по: а) двум катетам; б) гипотенузе и катету; в) гипотенузе и острому углу.
Признак «два катета» — это частный случай общего признака СУС, где угол между катетами равен $9 0^{\circ}$ .
Если задан один катет и гипотенуза, второй катет находится по теореме Пифагора: $b = c^{2} - a^{2}$ .

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

В треугольниках

A B C

D E F

угол

C

и угол

F

равны

9 0^{\circ}

. Катет

A C = 5

см, катет

B C = 7

см, катет

D F = 5

см, катет

E F = 7

см. Равны ли треугольники?

Оба треугольника прямоугольные: $∠ C = ∠ F = 9 0^{\circ}$ .
Катет $A C = D F = 5$ см и катет $B C = E F = 7$ см — оба катета равны попарно.
Прямые углы равны, и они заключены между соответствующими равными катетами.
По признаку равенства прямоугольных треугольников (два катета, то есть признак СУС): $△ A B C = △ D E F$ .

Ответ: Да,

△ A B C = △ D E F

по двум катетам.

Пример 2

В треугольниках

A B C

K L M

угол

C

и угол

M

равны

9 0^{\circ}

. Гипотенуза

A B = K L = 13

см, катет

B C = L M = 5

см. Равны ли треугольники?

Подсказка: Убедись, что AB и KL — именно гипотенузы (стороны напротив прямых углов).

Оба треугольника прямоугольные: $∠ C = ∠ M = 9 0^{\circ}$ .
Гипотенузы равны: $A B = K L = 13$ см.
Катеты $B C = L M = 5$ см равны.
По признаку равенства прямоугольных треугольников (гипотенуза и катет): $△ A B C = △ K L M$ .

Ответ: Да,

△ A B C = △ K L M

по гипотенузе и катету.

Пример 3

В треугольниках

A B C

P QR

угол

C = ∠ R = 9 0^{\circ}

. Гипотенуза

A B = P R = 10

см, острый угол

∠ A = ∠ P = 3 5^{\circ}

. Равны ли треугольники?

Подсказка: Из равенства одного острого угла сразу следует равенство второго острого угла (оба дополняют

9 0^{\circ}

Оба треугольника прямоугольные: $∠ C = ∠ R = 9 0^{\circ}$ .
Гипотенузы равны: $A B = P R = 10$ см.
Острые углы при гипотенузе равны: $∠ A = ∠ P = 3 5^{\circ}$ .
По признаку (гипотенуза и острый угол): $△ A B C = △ P QR$ .

Ответ: Да,

△ A B C = △ P QR

по гипотенузе и острому углу.

Пример 4

Точка

M

— середина отрезка

A B

. Из точки

M

проведены перпендикуляры

M C ⊥ A C

M D ⊥ B D

, причём

M C = M D

. Докажите, что

△ A C M = △ B D M

Подсказка: В доказательствах всегда сначала устанавливай, что треугольники прямоугольные, затем указывай признак.

Так как $M C ⊥ A C$ и $M D ⊥ B D$ , углы $∠ A C M = ∠ B D M = 9 0^{\circ}$ : оба треугольника прямоугольные.
По условию $M$ — середина $A B$ , значит $A M = B M$ . Это гипотенузы треугольников $A C M$ и $B D M$ (стороны, лежащие напротив прямых углов).
По условию катеты $M C = M D$ .
По признаку равенства прямоугольных треугольников (гипотенуза и катет): $△ A C M = △ B D M$ .

Ответ:

△ A C M = △ B D M

по гипотенузе (

A M = B M

) и катету (

M C = M D

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают катет и гипотенузу: гипотенуза ВСЕГДА лежит напротив прямого угла, а не просто «самая большая из названных».
Применяют признак «гипотенуза и катет» к обычным (непрямоугольным) треугольникам, где он не работает.
Считают, что равенства одного катета и одного острого угла достаточно для признака «гипотенуза и острый угол» — нет, нужна именно гипотенуза, а не любая сторона.
Забывают указать, какой угол прямой, и не проверяют, что треугольники действительно прямоугольные перед применением специальных признаков.

Частые вопросы

Какие признаки равенства прямоугольных треугольников?

По двум катетам; по катету и прилежащему острому углу; по гипотенузе и острому углу; по катету и гипотенузе. Прямой угол у них уже общий, поэтому хватает двух элементов.

Почему для прямоугольных треугольников хватает двух элементов?

Третий элемент, прямой угол, у них уже равен. Поэтому общие признаки сокращаются: например, признак по двум катетам следует из признака по двум сторонам и углу между ними.