Как складывать и вычитать дроби с разными знаменателями

Складывать можно только одинаковые кусочки. $\frac{1}{4}$ — это четверть пиццы, а $\frac{1}{6}$ — шестая часть. Куски разного размера.

Значит, сначала режем обе пиццы на одинаковые куски. Их размер и есть общий знаменатель.

Сложить числители и знаменатели по отдельности нельзя:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\ne \frac{2}{5}$

Проверь сам: $\frac{2}{5}$ меньше, чем $\frac{1}{2}$. А мы ведь к $\frac{1}{2}$ ещё что-то прибавили.

• Шаг 1. Найди общий знаменатель. Лучше всего подходит НОК знаменателей.
• Шаг 2. Найди дополнительный множитель для каждой дроби: общий знаменатель раздели на её знаменатель.
• Шаг 3. Умножь на него и числитель, и знаменатель. Потом сложи или вычти числители.
• Шаг 4. Сократи ответ. Если дробь неправильная, выдели целую часть.

Вычислим $\frac{1}{4}+\frac{1}{6}$.

НОК чисел 4 и 6 равен 12. Дополнительные множители: $12:4=3$ и $12:6=2$.

$\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12}$

Ещё пример. Здесь ответ выйдет неправильной дробью:

$\frac{2}{3}+\frac{3}{4}=\frac{8}{12}+\frac{9}{12}=\frac{17}{12}=1\frac{5}{12}$

Вычислим $\frac{5}{6}-\frac{3}{8}$.

НОК чисел 6 и 8 равен 24. Дополнительные множители: $24:6=4$ и $24:8=3$.

$\frac{5}{6}-\frac{3}{8}=\frac{20}{24}-\frac{9}{24}=\frac{11}{24}$

А здесь ответ ещё и сокращается:

$\frac{7}{10}-\frac{1}{6}=\frac{21}{30}-\frac{5}{30}=\frac{16}{30}=\frac{8}{15}$

Всего три случая:

• Больший знаменатель делится на меньший. Бери больший: $\frac{1}{3}+\frac{5}{6}=\frac{2}{6}+\frac{5}{6}=\frac{7}{6}=1\frac{1}{6}$.
• У знаменателей нет общих делителей, кроме 1. Перемножь их: $\frac{2}{5}+\frac{1}{3}=\frac{6}{15}+\frac{5}{15}=\frac{11}{15}$.
• Всё остальное. Перебирай кратные большего знаменателя: 12, 24, 36… Первое, которое делится на меньший, и есть НОК.

Пример с 8 и 12:

$\frac{3}{8}+\frac{5}{12}=\frac{9}{24}+\frac{10}{24}=\frac{19}{24}$

Сократить — значит разделить числитель и знаменатель на одно и то же число. Сама дробь при этом не меняется.

$\frac{16}{30}=\frac{16:2}{30:2}=\frac{8}{15}$

На что пробовать делить:

• На 2 — если оба числа чётные.
• На 5 — если оба оканчиваются на 0 или 5: $\frac{15}{35}=\frac{3}{7}$.
• На 3 — если сумма цифр каждого числа делится на 3: $\frac{12}{27}=\frac{4}{9}$.

Если числитель больше знаменателя, выдели целую часть. Раздели с остатком: $17:12=1$ (ост. 5), значит, $\frac{17}{12}=1\frac{5}{12}$.

Целые части складываем с целыми, дробные — с дробными:

$2\frac{1}{2}+1\frac{2}{3}=3+\frac{3}{6}+\frac{4}{6}=3+\frac{7}{6}$

Дробная часть вышла неправильной: $\frac{7}{6}=1\frac{1}{6}$. Добавляем эту единицу к целым:

$3+1\frac{1}{6}=4\frac{1}{6}$

Бывает, что дробная часть уменьшаемого меньше, чем у вычитаемого. Тогда занимаем единицу у целой части.

Вычислим $3\frac{1}{4}-1\frac{2}{3}$. Общий знаменатель 12:

$3\frac{3}{12}-1\frac{8}{12}$

$\frac{3}{12}$ меньше $\frac{8}{12}$. Занимаем: $3\frac{3}{12}=2+\frac{12}{12}+\frac{3}{12}=2\frac{15}{12}$.

$2\frac{15}{12}-1\frac{8}{12}=1\frac{7}{12}$

Второй способ — перевести всё в неправильные дроби:

$\frac{13}{4}-\frac{5}{3}=\frac{39}{12}-\frac{20}{12}=\frac{19}{12}=1\frac{7}{12}$

Ответ тот же. Выбирай способ, который тебе удобнее.

Для трёх дробей правило то же: ищем знаменатель, который делится на все три.

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{13}{12}=1\frac{1}{12}$

Целое число и дробь просто записываем рядом: $2+\frac{3}{5}=2\frac{3}{5}$.

• Сложили знаменатели. $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{2}{5}$ — неверно. Правильно: $\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$.
• Умножили только знаменатель. $\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}$ — неверно. Числитель тоже умножаем: $\frac{3}{12}+\frac{2}{12}$.
• Взяли знаменатель, который не делится на оба. Для 4 и 6 взяли 8. Но 8 не делится на 6, значит, это не общий знаменатель.
• Не сократили ответ. $\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}$ — это ещё не конец, нужно $\frac{1}{2}$.
• Вычли дробные части наоборот. В $3\frac{3}{12}-1\frac{8}{12}$ посчитали $\frac{8}{12}-\frac{3}{12}$ и получили $2\frac{5}{12}$. Неверно: нужно занять единицу, ответ $1\frac{7}{12}$.
• Потеряли единицу. В $2\frac{1}{2}+1\frac{2}{3}$ получили $3\frac{7}{6}$ и так и оставили. Правильно: $4\frac{1}{6}$.