8 класс Алгебра 9 мин чтения

Степень с целым показателем

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Степень с целым показателем расширяет понятие степени на нулевой и отрицательные показатели:

a^{0} = 1

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

при

a \neq = 0

. Все свойства степеней при этом сохраняются.

Проверь себя · 1 из 3

4^{0} = ?

В 7 классе ты возводил числа в натуральную степень — умножал основание само на себя. Но что значит $2^{- 3}$ или $5^{0}$ ? В 8 классе понятие степени расширяется на любые целые показатели. Это нужно, чтобы коротко записывать очень большие и очень маленькие числа (например, размер атома $1 0^{- 10}$ м) и свободно преобразовывать буквенные выражения.

шаг вниз — деление на основание

Содержание 9

Нулевой показатель

Любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно единице:

$a^{0} = 1 (a \neq = 0)$ Откуда это берётся? Возьмём частное двух одинаковых степеней $\frac{a ^{n}}{a ^{n}}$ .

С одной стороны, любое число (кроме нуля) делится само на себя, поэтому $\frac{a ^{n}}{a ^{n}} = 1$ .
С другой стороны, по свойству деления степеней показатели вычитаются: $\frac{a ^{n}}{a ^{n}} = a^{n - n} = a^{0}$ .

Сравнив оба результата, получаем $a^{0} = 1$ . Это не случайное соглашение, а единственное значение, при котором свойства степеней остаются верными.

Примеры: $5^{0} = 1$ , $(- 7)^{0} = 1$ , $(\frac{2}{3})^{0} = 1$ , $(a^{2} + 1)^{0} = 1$ .

А вот выражение $0^{0}$ не имеет смысла — именно поэтому в определении обязательно условие $a \neq = 0$ .

Отрицательный показатель

Степень с целым отрицательным показателем определяется так:

$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}} (a \neq = 0, n \in N)$ То есть $a^{- n}$ — это единица, делённая на $a^{n}$ . Это определение тоже не случайно: при делении $\frac{a ^{0}}{a ^{n}} = a^{0 - n} = a^{- n}$ , а $\frac{a ^{0}}{a ^{n}} = \frac{1}{a ^{n}}$ — снова всё сходится.

Примеры:

$2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}$ ;
$1 0^{- 2} = \frac{1}{1 0 ^{2}} = \frac{1}{100} = 0, 01$ ;
$(\frac{2}{3})^{- 1} = \frac{3}{2} = 1, 5$ — дробь просто переворачивается;
$(\frac{3}{5})^{- 2} = (\frac{5}{3})^{2} = \frac{25}{9}$ — сначала переворачиваем дробь, потом возводим в положительную степень.

Запомни главное: отрицательный показатель не делает число отрицательным. Он лишь означает «единица, делённая на степень». Так, $2^{- 3} = \frac{1}{8} > 0$ .

Свойства степени с целым показателем

Все знакомые с 7 класса свойства степеней сохраняются для любых целых показателей $m$ и $n$ (при $a \neq = 0$ , $b \neq = 0$ ).

1. Умножение степеней с одинаковым основанием — показатели складываются: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ Пример: $a^{5} \cdot a^{- 3} = a^{5 + (- 3)} = a^{2}$ .

2. Деление степеней с одинаковым основанием — показатели вычитаются: $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ Пример: $\frac{x ^{2}}{x ^{5}} = x^{2 - 5} = x^{- 3} = \frac{1}{x ^{3}}$ .

3. Степень степени — показатели перемножаются: $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ Пример: $(a^{- 2})^{3} = a^{- 2 \cdot 3} = a^{- 6} = \frac{1}{a ^{6}}$ .

4. Степень произведения — каждый множитель возводится в степень: $(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$ Пример: $(2 x)^{- 2} = 2^{- 2} x^{- 2} = \frac{1}{4 x ^{2}}$ .

5. Степень частного — числитель и знаменатель возводятся в степень: $(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}$ Пример: $(\frac{x}{3})^{- 1} = \frac{x ^{- 1}}{3 ^{- 1}} = \frac{3}{x}$ .

Стандартный вид числа

Стандартным видом числа называют запись

$a \cdot 1 0^{n}, 1 \leq a < 10,$ где $a$ — число от $1$ (включительно) до $10$ , а $n$ — целое число, которое называют порядком числа.

Большие числа записывают со степенью $10$ с положительным показателем — он показывает, на сколько разрядов нужно сдвинуть запятую вправо:

$3200 = 3, 2 \cdot 1 0^{3}$ ;
$58000000 = 5, 8 \cdot 1 0^{7}$ .

Малые числа (меньше единицы) записывают со степенью $10$ с отрицательным показателем — он показывает сдвиг запятой влево:

$0, 00047 = 4, 7 \cdot 1 0^{- 4}$ ;
$0, 0000009 = 9 \cdot 1 0^{- 7}$ .

Как найти порядок: поставь запятую после первой значащей цифры и сосчитай, на сколько позиций она сдвинулась. Сдвиг влево даёт положительный $n$ , сдвиг вправо — отрицательный.

Такая запись удобна и в вычислениях: чтобы перемножить числа в стандартном виде, отдельно перемножают множители $a$ и отдельно складывают показатели у $10$ .

Например: $(2 \cdot 1 0^{3}) \cdot (4 \cdot 1 0^{- 5}) = (2 \cdot 4) \cdot 1 0^{3 + (- 5)} = 8 \cdot 1 0^{- 2} = 0, 08$ .

Преобразование выражений со степенями

Целые показатели позволяют свободно перемещать множители между числителем и знаменателем.

Главное правило переноса: множитель можно перенести из знаменателя в числитель (или наоборот), изменив знак его показателя: $\frac{1}{a ^{- n}} = a^{n}, \frac{1}{a ^{n}} = a^{- n} .$ Пример: $\frac{1}{x ^{- 3}} = x^{3}$ , а $\frac{b ^{- 2}}{c ^{- 5}} = \frac{c ^{5}}{b ^{2}}$ .

Как упрощать буквенные выражения со степенями:

Применяй свойства степеней, складывая или вычитая показатели у одинаковых оснований.
Раскрывай степень произведения и степень степени.
Перенеси множители с отрицательными показателями в знаменатель (или из знаменателя в числитель), сменив знак показателя, чтобы в ответе не осталось отрицательных показателей.

Пример: $x^{4} \cdot x^{- 7} = x^{4 - 7} = x^{- 3} = \frac{1}{x ^{3}}$ .

Ещё пример: $\frac{a ^{- 2} b ^{3}}{a ^{4} b ^{- 1}} = a^{- 2 - 4} \cdot b^{3 - (- 1)} = a^{- 6} b^{4} = \frac{b ^{4}}{a ^{6}}$ .

Совет: в окончательном ответе принято не оставлять отрицательных показателей — их «убирают», переводя соответствующий множитель в знаменатель.

Ключевые формулы

a^{0} = 1, a \neq = 0

Нулевой показатель

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}, a \neq = 0

Отрицательный показатель

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}, a^{m} : a^{n} = a^{m - n}

Умножение и деление степеней

(a^{m})^{n} = a^{mn}, (ab)^{n} = a^{n} b^{n}, (\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}

Степень степени, произведения и частного

a \cdot 1 0^{n}, 1 \leq a < 10

Стандартный вид числа

Запомни

$a^{0} = 1$ для любого $a \neq = 0$ ; выражение $0^{0}$ не определено.
$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ — отрицательный показатель даёт дробь, а не отрицательное число.
Все свойства степеней (сложение, вычитание и умножение показателей) работают и для любых целых показателей.
Чтобы «перенести» множитель из знаменателя в числитель, меняй знак его показателя: $\frac{1}{x ^{- 3}} = x^{3}$ .
В стандартном виде $a \cdot 1 0^{n}$ множитель $a$ всегда удовлетворяет условию $1 \leq a < 10$ .

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Вычислите

5^{- 2} + 3^{0} - 2^{- 1}

Подсказка: Сначала отдельно вычисли каждую степень, потом приведи дроби к общему знаменателю.

$3^{0} = 1$ по определению нулевого показателя.
$5^{- 2} = \frac{1}{5 ^{2}} = \frac{1}{25}$ .
$2^{- 1} = \frac{1}{2}$ .
Подставляем: $\frac{1}{25} + 1 - \frac{1}{2}$ .
Приводим к общему знаменателю $50$ : $\frac{2}{50} + \frac{50}{50} - \frac{25}{50} = \frac{2 + 50 - 25}{50} = \frac{27}{50}$ .

Ответ:

\frac{27}{50} = 0, 54

Пример 2

Упростите

\frac{a ^{- 3} \cdot a ^{7}}{a ^{2}}

при

a \neq = 0

Подсказка: Сначала упрости числитель, потом примени правило деления степеней.

В числителе складываем показатели: $a^{- 3} \cdot a^{7} = a^{- 3 + 7} = a^{4}$ .
Делим на $a^{2}$ , вычитая показатели: $\frac{a ^{4}}{a ^{2}} = a^{4 - 2} = a^{2}$ .

Ответ:

a^{2}

Пример 3

Запишите числа

74000000

0, 00052

в стандартном виде.

Подсказка: Множитель

a

должен быть от

1

до

10

; знак показателя зависит от направления сдвига запятой.

Для $74000000$ ставим запятую после первой цифры: получаем множитель $7, 4$ .
Считаем, на сколько разрядов сдвинулась запятая влево: на $7$ позиций, значит показатель $n = 7$ .
Получаем $74000000 = 7, 4 \cdot 1 0^{7}$ .
Для $0, 00052$ ставим запятую после первой значащей цифры $5$ : множитель $5, 2$ .
Запятая сдвинулась вправо на $4$ позиции, значит показатель отрицательный: $n = - 4$ .
Получаем $0, 00052 = 5, 2 \cdot 1 0^{- 4}$ .

Ответ:

74000000 = 7, 4 \cdot 1 0^{7}

;

0, 00052 = 5, 2 \cdot 1 0^{- 4}

Пример 4

Упростите

\frac{x ^{- 2} y ^{3}}{x ^{4} y ^{- 1}}

при

x \neq = 0

y \neq = 0

, и запишите ответ без отрицательных показателей.

Подсказка: Вычитай показатели аккуратно: при вычитании отрицательного показателя два минуса дают плюс.

Применяем правило деления отдельно к $x$ и к $y$ .
Для $x$ : $x^{- 2} : x^{4} = x^{- 2 - 4} = x^{- 6}$ .
Для $y$ : $y^{3} : y^{- 1} = y^{3 - (- 1)} = y^{3 + 1} = y^{4}$ .
Получаем $x^{- 6} y^{4}$ .
Убираем отрицательный показатель, перенося $x^{- 6}$ в знаменатель: $x^{- 6} y^{4} = \frac{y ^{4}}{x ^{6}}$ .

Ответ:

\frac{y ^{4}}{x ^{6}}

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Считают, что $a^{- 2}$ — отрицательное число. На самом деле $2^{- 2} = \frac{1}{4} > 0$ .
Пишут $a^{0} = 0$ . Верно $a^{0} = 1$ (при $a \neq = 0$ ).
При делении степеней складывают показатели вместо вычитания: $\frac{a ^{5}}{a ^{2}} = a^{3}$ , а не $a^{7}$ .
В стандартном виде берут $a \geq 10$ или $a < 1$ : множитель должен удовлетворять $1 \leq a < 10$ (например, $58000 = 5, 8 \cdot 1 0^{4}$ , а не $58 \cdot 1 0^{3}$ ).