8 класс Алгебра 9 мин чтения

Решение линейных неравенств с одной переменной

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Линейное неравенство с одной переменной решается аналогично уравнению, но с одним ключевым правилом: при умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Проверь себя · 1 из 3

Реши неравенство

0 \cdot x < 3

. Выбери множество его решений.

Неравенства встречаются везде, где нужно оценить допустимый диапазон: скорость на дороге не должна превышать 60 км/ч, температура в холодильнике должна быть ниже 5°С. Умение решать линейные неравенства — основа для изучения систем неравенств, квадратных неравенств и математического анализа.

x > 3 — луч вправо, точка «выколота»

Содержание 9

Что такое линейное неравенство с одной переменной

Линейное неравенство с одной переменной — это неравенство вида $a x + b > 0$ , $a x + b < 0$ , $a x + b \geq 0$ или $a x + b \leq 0$ , где $a$ и $b$ — числа, $x$ — переменная, причём $a \neq = 0$ .

Знаки неравенства:

$<$ — строго меньше
$>$ — строго больше
$\leq$ — меньше или равно
$\geq$ — больше или равно

Решением неравенства называется любое значение переменной, при котором неравенство обращается в истинное высказывание. Множество всех таких значений называется множеством решений (или областью решений).

Например, $x = 3$ является решением неравенства $2 x - 1 > 0$ , потому что $2 \cdot 3 - 1 = 5 > 0$ — истина. А $x = 0$ решением не является, поскольку $2 \cdot 0 - 1 = - 1 > 0$ — ложь.

Множество решений линейного неравенства с одной переменной — это числовой промежуток (или пустое множество, или вся числовая прямая).

Свойства неравенств: правила преобразований

Преобразование неравенства — это замена одного неравенства другим, равносильным ему (имеющим то же множество решений). Используются следующие свойства.

Свойство 1. Перенос слагаемых. Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив его знак, при этом знак неравенства не меняется.

Пример: $3 x + 5 > 11 \Leftrightarrow 3 x > 11 - 5 \Leftrightarrow 3 x > 6$ .

Свойство 2. Умножение/деление на положительное число. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число — знак неравенства не меняется.

Пример: $3 x > 6 \Leftrightarrow x > 2$ .

Свойство 3. Умножение/деление на отрицательное число. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число — знак неравенства меняется на противоположный.

Пример: $- 2 x > 6 \Leftrightarrow x < - 3$ (делили на $- 2$ , знак $>$ заменился на $<$ ).

Почему знак меняется? На числовой прямой, если $a < b$ , то $- a > - b$ : большее число при умножении на $- 1$ становится меньшим. Это — интуитивное объяснение. Строго: если $a < b$ и $c < 0$ , то умножение обеих частей на $c$ переворачивает порядок: $a c > b c$ .

Алгоритм решения линейного неравенства

Решение линейного неравенства $a x + b > 0$ (или с другим знаком) выполняется по шагам:

Перенести все члены с переменной в левую часть, свободные члены — в правую (с изменением знаков).
Привести подобные слагаемые.
Разделить обе части на коэффициент при $x$ . Если коэффициент отрицательный — изменить знак неравенства!
Записать ответ в виде промежутка и изобразить на числовой прямой.

Запись ответа. Множество решений записывают:

В виде неравенства: $x > 2$ .
В виде промежутка: $(2; + \infty)$ .
На числовой прямой: точка $2$ не закрашена (при строгом неравенстве) или закрашена (при нестрогом), стрелка вправо.

Обозначения промежутков:

Запись	Промежуток	Вид
$x > a$	$(a; + \infty)$	открытый
$x \geq a$	$[a; + \infty)$	полуоткрытый
$x < a$	$(- \infty; a)$	открытый
$x \leq a$	$(- \infty; a]$	полуоткрытый

Частные случаи: когда решений нет или все числа подходят

После упрощения неравенства переменная может исчезнуть. Тогда возможны два случая.

Случай 1. Противоречие. Если получается неравенство вида $5 < 0$ или $3 > 7$ — очевидно ложное, — то исходное неравенство не имеет решений. Записывают: $x \in \emptyset$ (пустое множество).

Случай 2. Тождество. Если получается неравенство вида $0 < 3$ или $- 1 \leq 0$ — очевидно истинное, — то исходное неравенство выполняется при любом значении $x$ . Записывают: $x \in (- \infty; + \infty)$ или $x \in R$ .

Пример первого случая: $2 (x + 1) > 2 x + 5 \Rightarrow 2 x + 2 > 2 x + 5 \Rightarrow 2 > 5$ — ложь, решений нет.

Пример второго случая: $3 (x - 1) < 3 x + 1 \Rightarrow 3 x - 3 < 3 x + 1 \Rightarrow - 3 < 1$ — истина, решение: все действительные числа.

Изображение решений на числовой прямой

Графическое изображение помогает понять ответ наглядно.

Правило точки на числовой прямой:

Закрашенный кружок (•) — точка включается в решение (знак $\leq$ или $\geq$ , нестрогое неравенство).
Пустой кружок (○) — точка не включается в решение (знак $<$ или $>$ , строгое неравенство).

Примеры:

$x > 3$ : пустой кружок в точке $3$ , закрашенная прямая уходит вправо.
$x \leq - 1$ : закрашенный кружок в точке $- 1$ , прямая уходит влево.

Проверка ответа. Подставьте любое «удобное» число из найденного промежутка в исходное неравенство. Если неравенство обращается в истину — ответ верный.

Ключевые формулы

a x + b > 0, a \neq = 0

Стандартная форма линейного неравенства

a < b, c > 0 ⟹ \frac{a}{c} < \frac{b}{c}

Деление на положительное число — знак не меняется

a < b, c < 0 ⟹ \frac{a}{c} > \frac{b}{c}

Деление на отрицательное число — знак меняется на противоположный

x > \frac{b}{a}

Решение:

a x > b

при

a > 0

Запомни

При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства обязательно меняется на противоположный.
Перенос слагаемого из одной части в другую выполняется с изменением знака — точно так же, как в уравнении.
Строгое неравенство ( $<$ , $>$ ) — точка на числовой прямой не включается в ответ (пустой кружок). Нестрогое ( $\leq$ , $\geq$ ) — включается (закрашенный кружок).
Если после упрощения переменная исчезла и осталось ложное неравенство — решений нет; если истинное — решение вся числовая прямая.
Обязательно проверяй ответ: подставь любое число из найденного промежутка в исходное неравенство.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Решите неравенство:

3 x - 7 < 2

Переносим $- 7$ в правую часть: $3 x < 2 + 7$ .
$3 x < 9$ .
Делим обе части на $3$ (число положительное, знак не меняем): $x < 3$ .

Ответ:

x \in (- \infty; 3)

Пример 2

Решите неравенство:

- 4 x + 1 \geq 9

Переносим $1$ в правую часть: $- 4 x \geq 9 - 1$ .
$- 4 x \geq 8$ .
Делим обе части на $- 4$ (число отрицательное — знак $\geq$ меняем на $\leq$ ): $x \leq - 2$ .

Ответ:

x \in (- \infty; - 2]

Пример 3

Решите неравенство:

5 (x - 2) > 3 x + 4

Раскрываем скобки: $5 x - 10 > 3 x + 4$ .
Переносим $3 x$ влево, $- 10$ вправо: $5 x - 3 x > 4 + 10$ .
$2 x > 14$ .
Делим на $2$ : $x > 7$ .

Ответ:

x \in (7; + \infty)

Пример 4

Решите неравенство:

\frac{2 x - 1}{3} - \frac{x + 2}{6} \leq 1

Подсказка: При умножении на положительное НОК знак неравенства не меняется. Раскрывай скобки внимательно, особенно когда перед скобкой стоит минус.

Умножаем обе части на $6$ (наименьшее общее кратное знаменателей, $6 > 0$ — знак не меняем): $2 (2 x - 1) - (x + 2) \leq 6$ .
Раскрываем скобки: $4 x - 2 - x - 2 \leq 6$ .
Приводим подобные: $3 x - 4 \leq 6$ .
Переносим $- 4$ : $3 x \leq 10$ .
Делим на $3$ : $x \leq \frac{10}{3}$ .

Ответ:

x \in (- \infty; \frac{10}{3}]

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Забывают изменить знак неравенства при делении на отрицательное число. Например, из $- 3 x > 9$ неверно получают $x > - 3$ вместо правильного $x < - 3$ .
Переносят слагаемое без изменения знака. Например, из $2 x + 5 > 11$ пишут $2 x > 11 + 5$ вместо $2 x > 11 - 5$ .
Путают тип кружка на числовой прямой: при строгом неравенстве ставят закрашенный, хотя граничная точка не входит в решение.
Не проверяют частные случаи: когда коэффициент при $x$ равен нулю, пытаются делить на ноль вместо того, чтобы проанализировать, истинно ли оставшееся числовое неравенство.