Элементы теории вероятностей

Случайный опыт (испытание) — это действие, результат которого нельзя точно предсказать заранее, хотя все возможные результаты известны. Примеры: бросок монеты, бросок игрального кубика, вытаскивание шара из коробки.

Элементарный исход — один конкретный, неделимый результат опыта. Например, при броске кубика элементарные исходы — это выпадение $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ или $6$ очков.

Пространство элементарных исходов $\Omega$ — множество всех возможных элементарных исходов опыта. Для кубика $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$, то есть всего $6$ исходов.

Событие — это любое подмножество пространства $\Omega$, то есть набор исходов, объединённых общим признаком. События обозначают большими буквами $A$, $B$, $C$. Например, событие $A$ — «выпало чётное число» — состоит из исходов $\{2,4,6\}$.

Говорят, что исход благоприятствует событию $A$, если при этом исходе событие $A$ происходит. У события «выпало чётное число» три благоприятных исхода.

Виды событий:

• достоверное событие происходит при любом исходе опыта; ему благоприятствуют все исходы (всё пространство $\Omega$). Пример: «на кубике выпало число от $1$ до $6$».
• невозможное событие не происходит ни при каком исходе; ему не благоприятствует ни один исход (пустое множество $\varnothing$). Пример: «на кубике выпало $7$».
• противоположное событие $\bar{A}$ происходит ровно тогда, когда событие $A$ не происходит. Если $A$ — «выпало чётное», то $\bar{A}$ — «выпало нечётное», то есть $\{1,3,5\}$. Вместе $A$ и $\bar{A}$ охватывают все исходы и не пересекаются.

Чтобы пользоваться формулой вероятности, нужно, чтобы все элементарные исходы были равновозможными — то есть ни у одного исхода не было преимущества перед другими. Так бывает у симметричной монеты, правильного кубика, у шаров одинакового размера в непрозрачной коробке. Именно симметрия предмета даёт основание считать исходы равновозможными.

Классическое определение. Если опыт имеет $n$ равновозможных элементарных исходов и из них ровно $m$ благоприятствуют событию $A$, то вероятностью события $A$ называют число:

$P(A)=\frac{m}{n}$,

где $m$ — число благоприятных исходов, $n$ — общее число исходов. Буква $P$ — от латинского probabilitas («вероятность»).

Как считать вероятность (план):

1. Найти общее число равновозможных исходов $n$.
2. Подсчитать число благоприятных исходов $m$.
3. Записать отношение $P(A)=\frac{m}{n}$ и при необходимости сократить дробь или перевести в десятичную.

Например, для события «на кубике выпало чётное число»: всего исходов $n=6$, благоприятных $m=3$, поэтому $P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5$.

Если исходы не равновозможны (например, кубик неправильной формы), эта формула неприменима — нужны другие методы.

Из классического определения вытекают важные свойства, которые удобно использовать для самопроверки.

1. Границы вероятности. Так как число благоприятных исходов не может быть отрицательным и не может превышать общее число исходов, всегда выполняется:

$0\le P(A)\le 1$.

Если получилось $P(A)>1$ или $P(A)<0$ — где-то ошибка.

2. Крайние случаи.

• Вероятность невозможного события равна $0$: $P(\varnothing )=\frac{0}{n}=0$.
• Вероятность достоверного события равна $1$: $P(\Omega )=\frac{n}{n}=1$.

3. Противоположное событие. Поскольку события $A$ и $\bar{A}$ вместе охватывают все $n$ исходов, их вероятности в сумме дают единицу: $P(A)+P(\bar{A})=1$, откуда:

$P(\bar{A})=1-P(A)$.

Этим удобно пользоваться, когда «ненужных» (благоприятных событию $A$) исходов мало, а «нужных» (благоприятных $\bar{A}$) — много. Часто проще найти вероятность того, что событие не произойдёт, и вычесть её из единицы. Особенно это помогает в задачах со словом «хотя бы».

Несовместные события. Два события называют несовместными, если они не могут произойти в одном опыте одновременно (у них нет общих благоприятных исходов). Например, при одном броске кубика «выпало $2$» и «выпало $5$» несовместны.

Запись $A+B$ означает «произойдёт $A$ или $B$». Например, вероятность выбросить на кубике $2$ или $5$ равна $\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

Независимые события. Два события называют независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности другого. Так, результаты двух разных бросков монеты независимы.

Запись $A\cdot B$ означает «произойдёт $A$ и $B$». Например, вероятность дважды подряд выбросить орёл равна $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$.

Как не перепутать: слову «или» (несовместные) обычно соответствует сложение, а слову «и» (независимые) — умножение.

Классическое определение работает, только когда число исходов конечно. Но иногда исходов бесконечно много — например, точку случайно ставят на отрезок, и она может попасть в любую из бесконечного числа точек. Тогда применяют геометрическую вероятность.

Исходы изображают точками некоторой геометрической области $G$ (отрезок, плоская фигура или тело), а событию $A$ соответствует попадание точки в часть $g$ этой области. Если точку ставят «наудачу» (все положения равновозможны), то:

$P(A)=\frac{\text{мера}(g)}{\text{мера}(G)}$,

где «мера» — это длина (для отрезка), площадь (для плоской фигуры) или объём (для тела). Главное — мера части и мера всей области измеряются в одних и тех же единицах.

Пример. Точку наудачу ставят на отрезок длиной $10$ см. Вероятность того, что она попадёт в выделенный участок длиной $3$ см, равна $\frac{3}{10}=0,3$.

Свойство границ сохраняется и здесь: так как часть не больше целого, по-прежнему $0\le P(A)\le 1$.

Не всегда исходы можно считать равновозможными (кнопка падает остриём вверх или вниз с неизвестными шансами, монета может быть погнутой). Тогда вероятность оценивают опытным путём.

Относительная частота события $A$ — это отношение числа опытов $m$, в которых событие произошло, к общему числу проведённых опытов $n$:

$W(A)=\frac{m}{n}$.

Опытное (приближённое) значение вероятности называют статистической вероятностью: $P(A)\approx \frac{m}{n}$ при большом числе испытаний.

Закон больших чисел (в неформальном виде): при увеличении числа испытаний относительная частота события стремится приблизиться к его теоретической вероятности и колеблется около неё всё меньше. Поэтому, бросив монету $10$ раз, можно получить $7$ орлов, но при $10000$ бросках доля орлов будет очень близка к $0,5$.

Эта связь и оправдывает практическую пользу теории: вычислив вероятность $\frac{m}{n}$ за столом, мы предсказываем, какая доля реальных опытов завершится нужным исходом.