Элементы статистики

Когда нужно что-то измерить или подсчитать у большого числа объектов, обследуют не всех, а только часть. Выборка — это набор объектов, отобранных для изучения из общей совокупности. Результаты измерений или наблюдений называют данными (или вариантами ряда).

Число элементов в выборке называют её объёмом и обозначают $n$.

Например, если измерить рост у $10$ учеников, получится выборка объёма $n=10$, а сами числа (рост каждого) — это данные.

Чтобы коротко описать выборку, вычисляют её числовые характеристики: среднее арифметическое, медиану, моду и размах. Каждая из них отвечает на свой вопрос о данных.

Среднее арифметическое ряда чисел — это сумма всех данных, делённая на их количество:

$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots +x_n}{n}$ Среднее показывает «центр» данных, типичное значение.

Пример. За контрольную пятеро учеников получили оценки $3,4,4,5,4$. Тогда: $\bar{x}=\frac{3+4+4+5+4}{5}=\frac{20}{5}=4$.

Среднее не обязано совпадать ни с одним из данных и может быть дробным. Главный его недостаток — чувствительность к выбросам: одно очень большое или очень маленькое значение сильно сдвигает среднее.

Медиана — это значение, которое делит упорядоченный ряд данных пополам: половина чисел не больше медианы, половина — не меньше.

Дальше смотрят на количество чисел $n$:

• если $n$ нечётное — медиана это средний элемент ряда (на позиции $\frac{n+1}{2}$);
• если $n$ чётное — медиана это среднее арифметическое двух средних элементов.

Нечётный ряд. Для $2,3,5,7,11$ чисел пять, средний — третий, значит медиана равна $5$.

Чётный ряд. Для $1,3,4,6$ чисел четыре, два средних — это $3$ и $4$, поэтому медиана равна $\frac{3+4}{2}=3,5$.

Мода — это значение, которое встречается в ряду чаще всего.

Особенности моды:

• мод может быть несколько (если несколько значений встречаются одинаково часто и чаще остальных);
• моды может не быть вовсе (если все значения различны);
• моду можно искать и для нечисловых данных (самый частый размер, цвет, ответ).

Например, в ряду $4,7,7,2,10$ мода равна $7$ — это число встречается дважды, остальные по одному разу.

Размах — это разность наибольшего и наименьшего значений ряда:

$R=x_{\max }-x_{\min }$ Размах — всегда одно число; он показывает, насколько «растянуты» данные. Для того же ряда $R=10-2=8$.

Разные характеристики отвечают на разные вопросы, и важно выбирать подходящую.

• Среднее хорошо описывает данные без сильных выбросов (например, рост учеников класса).
• Медиана устойчива к выбросам. Если у девяти работников зарплата по $30$ тыс., а у директора $1$ млн, то среднее окажется завышенным, а медиана честно покажет «типичную» зарплату.
• Мода незаменима для нечисловых данных и когда важно «самое популярное» значение (ходовой размер обуви, любимый цвет).
• Размах показывает разброс, но тоже чувствителен к выбросам.

Вот почему медиану часто называют более «надёжной» серединой, чем среднее.

Когда значения в выборке повторяются, их удобно сгруппировать.

Частота значения — это сколько раз оно встретилось в выборке. Сумма всех частот равна объёму выборки $n$.

Относительная частота — это доля значения во всей выборке:

$W=\frac{m}{n}$ где $m$ — частота значения, $n$ — объём выборки. Относительную частоту часто выражают в процентах.

Пример. Среди $20$ учеников пятёрку получили $5$ человек. Тогда частота оценки «$5$» равна $5$, а относительная частота равна $\frac{5}{20}=0,25=25\%$.

Сумма всех относительных частот всегда равна $1$ (то есть $100\%$).