Начала статистики. Среднее арифметическое, мода, медиана

Представь: ты записывал, сколько шагов прошёл за каждый день недели. Получилось семь чисел. Друг спрашивает: «Ну как, много ходишь?» Не будешь же ты зачитывать все семь чисел подряд! Хочется ответить одним числом — «примерно столько-то».

Статистика — это раздел математики, который учит собирать числа, наводить в них порядок и делать выводы. Все числа, которые мы рассматриваем вместе, называют рядом данных (иногда говорят «выборка» — то есть набор чисел, который мы выбрали для изучения).

Чтобы описать весь ряд одним числом, придумали статистические характеристики. Главных три: среднее арифметическое, мода и медиана. Каждая по-своему отвечает на вопрос «какое число тут типичное?» — и скоро ты увидишь, что ответы бывают разные!

И ещё один полезный приём: перед работой числа часто упорядочивают — записывают от меньшего к большему. Такой аккуратный ряд называют вариационным рядом. Это как разложить карточки по порядку: сразу всё видно.

Ты с двумя друзьями собирал деньги на пиццу. Ты принёс 150 рублей, один друг — 200, второй — 100. Сколько в среднем скинулся каждый? Складываем всё и делим на троих:

$\frac{150+200+100}{3}=\frac{450}{3}=150$

Получается, как будто каждый дал по 150 рублей. Это и есть среднее арифметическое: сумма всех чисел, делённая на их количество.

В формулах его пишут так: $\bar{x}$ (читается «икс с чертой»). Сами числа ряда обозначают $x_1,x_2,\dots ,x_n$, а буква $n$ — это сколько всего чисел в ряду.

$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$

В чём смысл? Среднее «выравнивает» все числа, как будто общую сумму раздали всем поровну.

Когда среднее работает хорошо? Когда числа в ряду похожи друг на друга. Если весь класс получил четвёрки и пятёрки — среднее честно покажет уровень. А вот если все получили 5, а один человек — 1, среднее «просядет» и обманет: оно очень чувствительно к таким числам-чужакам (их называют выбросами).

Полезный трюк. Если среднее умножить обратно на количество чисел, получится сумма всего ряда:

$x_1+x_2+\dots +x_n=\bar{x}\cdot n$

Этот трюк выручает, когда одно число в ряду неизвестно — можно составить уравнение и найти его. Покажем в примерах!

Слово «мода» тут не случайно. Что такое модная одежда? Та, которую носят чаще всего. Вот и в математике:

Мода — это число, которое встречается в ряду чаще всех остальных. Обозначают её $\text{Mo}$.

Например, спроси у одноклассников их любимое число от 1 до 10. Если семёрку назвали пять человек, а остальные числа — реже, то мода этого опроса равна $7$.

Хитрые случаи:

• Если каждое число встречается ровно по одному разу — моды нет вообще. Никто не «популярнее» других.
• Если два (или больше) числа встречаются одинаково часто и чаще всех — у ряда несколько мод. Такой ряд называют многомодальным.

Где мода нужна в жизни? Магазин обуви заказывает больше всего пар самого ходового размера — это мода! Среднее тут бесполезно: «средний размер 38,7» никому не налезет.

Как искать. Посчитай, сколько раз встречается каждое число, и выбери чемпиона. Совет: сначала упорядочи ряд — одинаковые числа встанут рядом, и считать их станет легко.

Представь, что весь твой класс построили по росту в одну шеренгу. Тот, кто стоит ровно посередине, — «медианный» ученик: половина класса ниже его, половина — выше.

Медиана — это число, стоящее в середине ряда, записанного по возрастанию. Обозначают её $\text{Me}$.

Два случая — смотря сколько чисел в ряду (это наше $n$):

• Если $n$ нечётное (3, 5, 7 чисел...), посередине стоит ровно одно число — оно и есть медиана. Его номер в упорядоченном ряду: $\frac{n+1}{2}$.
• Если $n$ чётное (4, 6, 8 чисел...), в середине стоят сразу два числа — на местах $\frac{n}{2}$ и $\frac{n}{2}+1$. Тогда медиана — их среднее арифметическое: складываем эти два числа и делим на $2$.

Суперсила медианы. Ей всё равно, насколько огромное число стоит с краю! Допустим, пятеро ребят накопили $100$, $200$, $300$, $400$ рублей, а пятый — целых $100000$. Среднее взлетит до небес, а медиана спокойно скажет: $300$. Это честнее описывает «обычного» из этой пятёрки. Поэтому, кстати, доходы людей в стране чаще сравнивают именно по медиане, а не по среднему.

Никто! Три характеристики — как три разных инструмента в наборе. Молотком не закрутишь шуруп — и для каждой задачи свой помощник.

• Среднее арифметическое учитывает каждое число. Отлично работает, когда числа «дружные», без выбросов.
• Мода смотрит только на то, что встречается чаще всего. Бери её, когда важна популярность.
• Медиана не боится выбросов. Выбирай её, когда в ряду есть подозрительно большие или маленькие числа.

Проверим на одном ряду: $1,2,2,3,100$.

Среднее: $\bar{x}=\frac{1+2+2+3+100}{5}=\frac{108}{5}=21,6$ Ого! Число $100$ утянуло среднее вверх, хотя почти все числа в ряду маленькие.

Мода: $\text{Mo}=2$ — двойка встречается чаще всех.

Медиана: упорядоченный ряд $1,2,2,3,100$, посередине (третье из пяти) стоит число $2$, значит $\text{Me}=2$.

Видишь? Мода и медиана честно говорят: «типичное число тут — двойка». А среднее запуталось из-за выброса. Вот почему полезно знать все три характеристики!