6 класс Математика 10 мин чтения

Умножение и деление целых чисел

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: При умножении и делении чисел с одинаковыми знаками получается положительное число, с разными знаками отрицательное:

(- 6) \cdot (- 4) = 24

(- 18) : 3 = - 6

. Сначала определи знак ответа, потом перемножь или раздели модули. Если множителей несколько, чётное число минусов даёт плюс, нечётное минус:

(- 1) \cdot (- 2) \cdot (- 3) = - 6

. На ноль делить нельзя.

Проверь себя · 1 из 3

Вычисли:

6 \cdot 12

Представь: ты три дня подряд тратишь по 4 монеты в игре. Каждый день твой счёт меняется на $- 4$ . За три дня — на $3 \cdot (- 4) = - 12$ монет. Вот ты уже и умножил целые числа! Отрицательные числа прячутся везде: в долгах, в температуре ниже нуля, в лифте, который едет на минус первый этаж. В этой теме ты выучишь одно короткое правило знаков — и после него умножать и делить любые целые числа станет так же легко, как обычные.

Содержание 9

Что значит умножить на отрицательное число

Сначала вспомним, кто такие целые числа. Это натуральные числа ( $1, 2, 3, \dots$ ), нуль и отрицательные числа: $\dots, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, \dots$ Всё это множество обозначают буквой $Z$ .

Умножение — это сложение одинаковых слагаемых. Запись $3 \cdot (- 4)$ значит «возьми $(- 4)$ три раза»:

$3 \cdot (- 4) = (- 4) + (- 4) + (- 4) = - 12.$

Как с монетами из примера выше: три дня по $4$ монеты в минус — итого $12$ монет в минус. Поэтому плюс на минус даёт минус.

А что такое $(- 3) \cdot (- 4)$ ? «Взять минус три раза» — звучит странно. Тут поможет фокус с закономерностью. Смотри, уменьшаем первый множитель на $1$ и следим за ответом:

$3 \cdot (- 4) = - 12,$ $2 \cdot (- 4) = - 8,$ $1 \cdot (- 4) = - 4,$ $0 \cdot (- 4) = 0.$

Заметил? Каждый шаг ответ растёт на $4$ , как по лесенке. Продолжим лесенку дальше:

$(- 1) \cdot (- 4) = 4, (- 2) \cdot (- 4) = 8, (- 3) \cdot (- 4) = 12.$

Вот и ответ: минус на минус даёт плюс. Это не выдумка взрослых, а единственный вариант, при котором математика не ломается.

Правило знаков — одно на всё

Хорошая новость: для умножения и деления правило знаков одно и то же. Вот оно целиком:

«плюс» на «плюс» — «плюс»: $5 \cdot 3 = 15$ ;
«минус» на «минус» — «плюс»: $(- 5) \cdot (- 3) = 15$ ;
«плюс» на «минус» — «минус»: $5 \cdot (- 3) = - 15$ ;
«минус» на «плюс» — «минус»: $(- 5) \cdot 3 = - 15$ .

Коротко: одинаковые знаки дают «плюс», разные — «минус». Можно запомнить так: друг моего друга — мой друг (плюс), а враг моего врага — тоже друг (плюс!).

С делением — всё то же самое:

$(- 12) \div (- 4) = 3, (- 12) \div 4 = - 3, 12 \div (- 4) = - 3.$

Как действовать (план из трёх шагов):

По правилу знаков пойми, каким будет знак ответа.
Забудь про знаки и посчитай с модулями — то есть с самими числами без минусов.
Поставь к ответу знак из шага 1.

Сначала знак, потом счёт — и никакой путаницы.

Свойства умножения: всё как у обычных чисел

Целые числа умножаются по тем же законам, что и натуральные. Здесь буквы $a$ , $b$ и $c$ — любые целые числа.

Переместительное свойство: множители можно менять местами:

$a \cdot b = b \cdot a .$

Например, $(- 3) \cdot 7 = 7 \cdot (- 3) = - 21$ .

Сочетательное свойство: неважно, какую пару перемножить первой:

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) .$

Проверь: $((- 2) \cdot 3) \cdot (- 5) = (- 6) \cdot (- 5) = 30$ , и $(- 2) \cdot (3 \cdot (- 5)) = (- 2) \cdot (- 15) = 30$ . Сошлось!

Распределительное свойство: множитель «раздаётся» каждому слагаемому в скобках:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c .$

Именно оно помогает раскрывать скобки.

Умножение на нуль: $a \cdot 0 = 0$ — нуль «обнуляет» что угодно.

Умножение на $- 1$ : $a \cdot (- 1) = - a$ — число просто меняет знак, как переключатель.

И самое полезное для длинных цепочек. Знак произведения нескольких множителей зависит только от того, сколько в нём минусов: чётное число отрицательных множителей ( $2$ , $4$ , $6 \dots$ ) — ответ положительный, нечётное ( $1$ , $3$ , $5 \dots$ ) — отрицательный. Минусы как бы «гасят» друг друга парами. А если среди множителей есть нуль — всё произведение равно нулю.

Деление — это умножение наоборот

Деление отвечает на вопрос: «на что умножить?». Частное $a \div b$ (при $b \neq = 0$ ) — это такое число $c$ , что $b \cdot c = a$ . Здесь $a$ — делимое, $b$ — делитель, $c$ — частное.

Например, $(- 20) \div 4 = - 5$ , потому что $4 \cdot (- 5) = - 20$ . Это даёт тебе суперспособность — проверять деление умножением: умножь ответ на делитель, и должно получиться делимое. Не сошлось — где-то ошибка.

На нуль делить нельзя — вообще никогда. Почему? Допустим, $5 \div 0$ равно какому-то числу $c$ . Тогда $0 \cdot c = 5$ . Но нуль на что ни умножай — получится нуль, а не $5$ . Такого $c$ просто нет. А вот сам нуль делить можно: $0 \div a = 0$ для любого $a \neq = 0$ . Раздай нуль конфет на пятерых — каждому достанется по нулю конфет.

И ещё: целое на целое не всегда делится нацело. Например, $(- 7) \div 2$ — не целое число. В этой теме мы берём только такие примеры, где ответ получается целым.

Порядок действий и минус перед скобками

Когда в выражении много действий, работает привычный порядок:

сначала всё, что в скобках;
потом умножение и деление — слева направо;
в конце сложение и вычитание — слева направо.

Отдельная ловушка — минус перед скобками. Он меняет знак у каждого слагаемого внутри, а не только у первого:

$- (a - b) = - a + b, - (a - b + c) = - a + b - c .$

Представь, что минус — строгий контролёр: он проверяет всех в скобках, никого не пропуская.

Длинные произведения удобно считать так: сначала перемножь модули, потом пересчитай минусы. Например, в $(- 25) \cdot 4 \cdot (- 3)$ модули дают $25 \cdot 4 \cdot 3 = 300$ . Минусов два — чётное число, значит ответ положительный:

$(- 25) \cdot 4 \cdot (- 3) = 300.$

Ключевые формулы

(- a) \cdot (- b) = a \cdot b, (- a) \cdot b = a \cdot (- b) = - (a \cdot b)

Правило знаков: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус. Здесь

a

b

— любые положительные числа

a \div b = c ⟺ b \cdot c = a, b \neq = 0

Связь деления с умножением (так проверяют деление):

a

— делимое,

b

— делитель (не нуль),

c

— частное

a_{1} \cdot a_{2} \dots a_{k} = (- 1)^{n} \cdot ∣ a_{1} ∣ \cdot ∣ a_{2} ∣ \dots ∣ a_{k} ∣

Знак произведения цепочки множителей:

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}

— множители,

n

— сколько среди них отрицательных,

∣ a ∣

— модуль (число без знака)

a \cdot (- 1) = - a

Умножение на минус единицу меняет знак:

a

— любое целое число

Запомни

Одинаковые знаки при умножении и делении дают «плюс», разные знаки — «минус».
В длинной цепочке множителей считай минусы: чётное количество — ответ положительный, нечётное — отрицательный.
На нуль делить нельзя никогда! А вот нуль на любое другое число делить можно: 0 : a = 0.
Умножение на −1 — это переключатель знака: число становится противоположным.
Проверяй деление умножением: частное × делитель = делимое. Не сошлось — ищи ошибку.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Вычисли:

(- 8) \cdot 5

Знаки разные (минус и плюс), значит ответ будет отрицательным.
Считаем без знаков: $8 \cdot 5 = 40$ .
Ставим минус: $(- 8) \cdot 5 = - 40$ .
Смысл: пять прыжков по $8$ влево от нуля — попадаем в точку $- 40$ .

Ответ:

(- 8) \cdot 5 = - 40

Пример 2

Вычисли:

(- 36) \div (- 9)

Знаки одинаковые (оба минуса), значит ответ положительный.
Делим без знаков: $36 \div 9 = 4$ .
Записываем: $(- 36) \div (- 9) = 4$ .
Проверяем умножением: $(- 9) \cdot 4 = - 36$ — совпало с делимым, значит всё верно.

Ответ:

(- 36) \div (- 9) = 4

Пример 3

Вычисли произведение:

(- 2) \cdot 3 \cdot (- 5) \cdot (- 1)

Подсказка: Не разбивай на пары — просто посчитай, сколько всего минусов в цепочке.

Пересчитываем минусы: $(- 2)$ , $(- 5)$ , $(- 1)$ — три отрицательных множителя. Три — нечётное число, значит ответ отрицательный.
Перемножаем модули: $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 1 = 30$ .
Ставим минус: $(- 2) \cdot 3 \cdot (- 5) \cdot (- 1) = - 30$ .

Ответ:

(- 2) \cdot 3 \cdot (- 5) \cdot (- 1) = - 30

Пример 4

Найди значение выражения:

(- 4) \cdot (7 - 12) + 30 \div (- 6)

Подсказка: Порядок такой: сначала скобки, потом умножение и деление слева направо, сложение — в самом конце.

Сначала скобки: $7 - 12 = - 5$ .
Теперь умножение. Знаки одинаковые — «плюс»: $(- 4) \cdot (- 5) = 20$ .
Дальше деление. Знаки разные — «минус»: $30 \div (- 6) = - 5$ .
И в конце сложение: $20 + (- 5) = 15$ .

Ответ:

(- 4) \cdot (7 - 12) + 30 \div (- 6) = 15

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Теряют знак при умножении двух отрицательных чисел и пишут (-3) · (-4) = -12 вместо 12. Минус на минус — это плюс!
В длинной цепочке множителей смотрят только на соседнюю пару, вместо того чтобы пересчитать все минусы сразу.
Путают «делить нуль» и «делить на нуль»: 0 : 5 = 0 — верно, а 5 : 0 не существует вовсе (это не нуль и не бесконечность).
Минус перед скобками меняют только у первого слагаемого: пишут -(a - b + c) = -a - b + c, а правильно -a + b - c.
Правильно считают числа, но забывают поставить знак — или наоборот. Лекарство: всегда сначала знак, потом счёт.