6 класс Математика 10 мин чтения

Координатная плоскость

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Координатную плоскость задают две перпендикулярные оси: горизонтальная

O x

и вертикальная

O y

, которые пересекаются в начале координат

O (0; 0)

. Положение точки записывают парой чисел

(x; y)

: сначала абсцисса, потом ордината. Точка

A (3; - 2)

лежит на 3 единицы правее начала координат и на 2 ниже, в IV четверти.

Проверь себя · 1 из 3

В какой четверти точка

(3; 5)

В морском бое ты называешь клетку «Б-5», в кинотеатре у тебя ряд 7, место 12. Двух чисел хватает, чтобы точно указать место. На координатной плоскости любую точку тоже описывают парой чисел, её координатами.

Как построить точку по координатам

Начни из начала координат $O$ .
Первая координата $x$ : сдвинься по оси $O x$ вправо, если $x > 0$ , или влево, если $x < 0$ .
Вторая координата $y$ : от этого места поднимись вверх, если $y > 0$ , или опустись вниз, если $y < 0$ .
Поставь точку и подпиши её букву.

Пример. $K (4; - 1)$ : 4 единицы вправо, затем 1 вниз.

Как найти координаты точки на рисунке

Проведи от точки вертикальную линию до оси $O x$ и прочитай число. Это абсцисса $x$ .
Проведи от точки горизонтальную линию до оси $O y$ и прочитай число. Это ордината $y$ .
Запиши ответ в скобках через точку с запятой: сначала $x$ , потом $y$ .

Пример. Точка на 2 клетки левее оси $O y$ и на 3 выше оси $O x$ (единичный отрезок в одну клетку): $(- 2; 3)$ .

Содержание 13

Оси и начало координат

Начерти две перпендикулярные координатные прямые. Горизонтальную называют осью абсцисс $O x$ , вертикальную осью ординат $O y$ . Точку их пересечения $O$ называют началом координат.

Определение. Координатной плоскостью называют плоскость, на которой проведены две перпендикулярные координатные прямые с общим началом отсчёта

O

и одинаковым единичным отрезком.

На оси $O x$ положительные числа идут вправо от $O$ , на оси $O y$ вверх. Отрицательные числа лежат левее и ниже начала координат.

Координаты точки

Правило. Чтобы найти координаты точки, опусти из неё перпендикуляры на оси. Число на оси

O x

даёт первую координату

x

, её называют абсциссой. Число на оси

O y

даёт вторую координату

y

, ординату. Записывают так:

$A (x; y)$

Порядок важен. Точки $(2; 5)$ и $(5; 2)$ разные: первая на 2 единицы правее начала координат и на 5 выше, вторая на 5 правее и на 2 выше.

Координаты разделяют точкой с запятой, потому что запятая уже занята десятичными дробями: $B (1, 5; 4)$ .

Точки на осях

Свойство. Если точка лежит на оси

O x

, её ордината равна нулю. Если точка лежит на оси

O y

, её абсцисса равна нулю.

Например, $(5; 0)$ и $(- 2; 0)$ лежат на оси $O x$ , а $(0; 3)$ и $(0; - 7)$ на оси $O y$ .

Начало координат лежит на обеих осях сразу, поэтому у него обе координаты нулевые: $O (0; 0)$ . Точки на осях не относятся ни к одной четверти.

Четыре координатные четверти

Оси делят плоскость на четыре части, координатные четверти. Их нумеруют против часовой стрелки, начиная с правой верхней.

Четверть	Знак $x$	Знак $y$	Пример
I	$+$	$+$	$(2; 3)$
II	$-$	$+$	$(- 4; 1)$
III	$-$	$-$	$(- 1; - 5)$
IV	$+$	$-$	$(3; - 2)$

Правило. Четверть, в которой лежит точка, определяют по знакам её координат. Считать ничего не нужно, смотри только на плюсы и минусы.

Симметричные точки

Точки $A (3; 2)$ и $B (3; - 2)$ симметричны относительно оси $O x$ : абсцисса та же, у ординаты сменился знак. Точки $A (3; 2)$ и $C (- 3; 2)$ симметричны относительно оси $O y$ : знак сменился у абсциссы.

Свойство. При симметрии относительно начала координат меняются знаки обеих координат: точка

(3; 2)

переходит в точку

(- 3; - 2)

Отрезки, параллельные осям

Если у двух точек одинаковые ординаты, они лежат на одной горизонтальной прямой. Расстояние между ними равно разности абсцисс, из большей вычитаем меньшую:

$(- 2; 3) и (5; 3) : 5 - (- 2) = 7$

С одинаковыми абсциссами точки лежат на одной вертикальной прямой, и расстояние равно разности ординат. Так находят стороны прямоугольника, начерченного по клеткам, а потом его периметр и площадь.

Частые вопросы

Какая координата пишется первой? Абсцисса $x$ , координата по горизонтальной оси. Запомнить легко: в алфавите $x$ стоит раньше $y$ .

В какой четверти лежит точка $(0; 5)$ ? Ни в какой. Её абсцисса равна нулю, значит, точка лежит на оси $O y$ .

Зачем между координатами точка с запятой? Запись $(1, 5)$ можно прочитать как одно число $1, 5$ . Запись $(1; 5)$ понятна сразу.

Где пригодится координатная плоскость? В 7 классе на ней строят графики функций. В жизни координаты есть на картах и в навигаторе, а в компьютерной игре положение героя хранится парой чисел.

Ключевые формулы

(x; 0)

Точка на оси

O x

(0; y)

Точка на оси

O y

(x; y) \to (x; - y)

Симметрия относительно оси

O x

(x; y) \to (- x; y)

Симметрия относительно оси

O y

Запомни

Первой пишут абсциссу $x$ (по горизонтали), второй ординату $y$ (по вертикали).
I четверть: $x > 0$ , $y > 0$ . II: $x < 0$ , $y > 0$ . III: $x < 0$ , $y < 0$ . IV: $x > 0$ , $y < 0$ .
На оси $O x$ ордината равна нулю, на оси $O y$ абсцисса равна нулю.
При симметрии относительно оси $O x$ меняется знак $y$ , относительно оси $O y$ знак $x$ .
Координаты разделяют точкой с запятой.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Запиши координаты точек

A

B

C

на рисунке.

Подсказка: Сначала смотри по горизонтали, потом по вертикали.

$A$ : на 2 вправо от $O y$ и на 3 вверх от $O x$ , значит, $A (2; 3)$ .
$B$ : на 3 влево и на 1 вверх, значит, $B (- 3; 1)$ .
$C$ : на 1 влево и на 2 вниз, значит, $C (- 1; - 2)$ .

Ответ:

A (2; 3)

B (- 3; 1)

C (- 1; - 2)

Пример 2

Построй точку

M (- 3; 4)

Подсказка: Первая координата отрицательная: куда двигаться по оси

O x

Начинаем из начала координат $O (0; 0)$ .
$x = - 3$ : сдвигаемся на 3 единицы влево.
$y = 4$ : поднимаемся на 4 единицы вверх и ставим точку $M$ .

Ответ: Точка во II четверти: 3 влево, 4 вверх

Пример 3

В какой четверти лежит точка

P (- 5; - 7)

Подсказка: Посмотри на знаки обеих координат.

$x = - 5 < 0$ , точка левее оси $O y$ .
$y = - 7 < 0$ , точка ниже оси $O x$ .
Слева внизу находится III четверть.

Ответ: III четверть

Пример 4

Какие из точек

A (0; 4)

B (3; 0)

C (2; 2)

лежат на осях координат?

Подсказка: У точки на оси одна из координат равна нулю.

У $A$ абсцисса равна 0, точка лежит на оси $O y$ .
У $B$ ордината равна 0, точка лежит на оси $O x$ .
У $C$ обе координаты не равны нулю, она лежит в I четверти.

Ответ:

A

на оси

O y

B

на оси

O x

Пример 5

Найди точку, симметричную точке

K (4; - 3)

относительно оси

O x

Подсказка: Какая координата меняет знак при симметрии относительно

O x

При симметрии относительно оси $O x$ абсцисса сохраняется: $x = 4$ .
Ордината меняет знак: $- 3 \to 3$ .

Ответ:

(4; 3)

Пример 6

Три вершины прямоугольника

A B C D

A (- 2; - 1)

B (- 2; 3)

C (4; 3)

. Найди координаты вершины

D

и периметр прямоугольника.

Подсказка: Стороны прямоугольника идут по линиям сетки.

Сторона $A B$ вертикальная, $B C$ горизонтальная. Вершина $D$ лежит под $C$ на уровне $A$ : $D (4; - 1)$ .
$A B = 3 - (- 1) = 4$ , $B C = 4 - (- 2) = 6$ .
$P = 2 \cdot (4 + 6) = 20$ .

Ответ:

D (4; - 1)

P = 20

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают порядок: точку $(2; 5)$ строят на 5 вправо и 2 вверх. Первая координата всегда по горизонтали: 2 вправо, 5 вверх.
Считают, что точка $(0; 3)$ лежит на оси $O x$ . Нулевая абсцисса означает ось $O y$ .
Нумеруют четверти по часовой стрелке. Верный порядок против часовой: I справа вверху, II слева вверху, III слева внизу, IV справа внизу.
При симметрии относительно оси $O x$ меняют знак абсциссы. Меняется ордината: $(4; - 3) \to (4; 3)$ .
Считают клетки вместо единиц, когда единичный отрезок длиннее одной клетки. Сначала посмотри, сколько клеток в единичном отрезке.