8 класс Геометрия 8 мин чтения

Описанная окружность треугольника

Q: Как найти радиус описанной окружности треугольника?

Перемножь стороны и раздели на учетверённую площадь: R = (abc)/(4S). У прямоугольного треугольника радиус равен половине гипотенузы: катеты 6 и 8, гипотенуза 10, R = 5.

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Решать задания по теме

Коротко: Описанная окружность проходит через все три вершины треугольника. Её центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам. Радиус равен произведению сторон, делённому на учетверённую площадь:

R = \frac{ab c}{4 S}

. В прямоугольном треугольнике центр лежит на середине гипотенузы и

R = \frac{c}{2}

: при катетах 6 и 8 гипотенуза равна 10, а

R = 5

Проверь себя · 1 из 3

В треугольнике

A B C

∠ A = 90°

∠ B = 26°

. Где лежит центр окружности, описанной около этого треугольника?

Строители и архитекторы со времён Древнего Египта умели находить центр круглого объекта, вписывая в него треугольник. Сегодня ты узнаешь, как по трём точкам провести ровно одну окружность — и быстро вычислить её радиус.

центр O — пересечение серединных перпендикуляров; R — до вершин

Как найти центр описанной окружности

Отметь середину одной стороны треугольника и проведи через неё прямую, перпендикулярную этой стороне. Это серединный перпендикуляр.
Так же проведи серединный перпендикуляр ко второй стороне.
Точка, где перпендикуляры пересеклись, и есть центр $O$ .
Радиус равен расстоянию от центра до любой вершины: $R = O A = O B = O C$ .

Пример. В прямоугольном треугольнике центр лежит на середине гипотенузы. Катеты $6$ и $8$ : гипотенуза $6^{2} + 8^{2} = 10$ , значит $R = 10 : 2 = 5$ .

Содержание 10

Определение и существование

Описанная окружность треугольника — окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Говорят, что окружность описана около треугольника, а треугольник вписан в окружность.

Важный факт: около любого треугольника можно описать окружность, и такая окружность единственна.

Почему она единственна? Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна окружность. Это следует из того, что система трёх уравнений $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ имеет единственное решение относительно $a$ , $b$ , $R$ , если точки не коллинеарны.

Центр описанной окружности

Центр описанной окружности — точка, равноудалённая от всех трёх вершин треугольника. Обозначают её обычно буквой $O$ .

Как его найти? Геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек, есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Поэтому:

Серединный перпендикуляр к стороне $A B$ — множество точек, равноудалённых от $A$ и $B$ .
Серединный перпендикуляр к стороне $B C$ — множество точек, равноудалённых от $B$ и $C$ .

Их пересечение равноудалено от $A$ , $B$ и $C$ одновременно — это и есть центр $O$ .

Теорема. Центр описанной окружности треугольника является точкой пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Расположение центра зависит от вида треугольника:

В остроугольном треугольнике $O$ лежит внутри треугольника.
В прямоугольном треугольнике $O$ лежит на середине гипотенузы.
В тупоугольном треугольнике $O$ лежит вне треугольника.

Разобрался? Проверь себя

3 задания уровня «Норма», как в контрольной. С проверкой и решением.

Радиус описанной окружности

Радиус описанной окружности обозначают $R$ .

Правило. Радиус описанной окружности равен произведению трёх сторон треугольника, делённому на учетверённую площадь треугольника:

$R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 S}$

Здесь $a$ , $b$ , $c$ обозначают стороны треугольника, $S$ его площадь. Формула удобна, когда известны все три стороны: площадь находят по формуле Герона, а потом подставляют.

Пример. У треугольника со сторонами 13, 14 и 15 полупериметр равен 21, площадь $S = 21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 84$ . Тогда

$R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{2730}{336} = 8, 125$

Свойство. В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы:

$R = \frac{c}{2}$

Например, при катетах 6 и 8 гипотенуза равна 10, значит, $R = 5$ . Проверим по общей формуле: $S = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24$ , $R = \frac{6 \cdot 8 \cdot 10}{4 \cdot 24} = 5$ .

Через сторону и противолежащий угол:

$R = \frac{a}{2 sin A}$

Здесь $a$ обозначает сторону треугольника, $A$ противолежащий ей угол. Так записывается теорема синусов: в любом треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности. Если $∠ C = 9 0^{\circ}$ , то $sin C = 1$ , и формула снова даёт $R = \frac{c}{2}$ .

Прямоугольный треугольник и описанная окружность

Прямоугольный треугольник занимает особое место: центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.

Доказательство. Пусть в $△ A B C$ угол $C = 9 0^{\circ}$ . Серединный перпендикуляр к гипотенузе $A B$ проходит через середину $M$ отрезка $A B$ . Покажем, что $M A = M B = M C$ .

Отрезок $C M$ — медиана к гипотенузе прямоугольного треугольника. По свойству медианы прямоугольного треугольника медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы: $C M = \frac{A B}{2}$ . Значит, $M A = M B = M C = \frac{A B}{2}$ , то есть точка $M$ равноудалена от всех вершин.

Следствие: угол, вписанный в полуокружность (опирающийся на диаметр), равен

9 0^{\circ}

Ключевые формулы

R = \frac{a}{2 sin A}

Теорема синусов: радиус через сторону и угол

R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 S}

Радиус через три стороны и площадь

R = \frac{c}{2}

Радиус для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза)

S = s (s - a) (s - b) (s - c), s = \frac{a + b + c}{2}

Площадь треугольника через формулу Герона (для нахождения S)

Запомни

Около любого треугольника можно описать единственную окружность.
Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а радиус равен $\frac{c}{2}$ .
Формула теоремы синусов: $\frac{a}{s i n A} = 2 R$ — связывает сторону, противолежащий угол и радиус.
В тупоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит вне треугольника.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

В равностороннем треугольнике со стороной

a = 6

см найдите радиус описанной окружности.

В равностороннем треугольнике все углы равны $6 0^{\circ}$ . Применяем формулу теоремы синусов, взяв сторону $a = 6$ и противолежащий угол $A = 6 0^{\circ}$ .
$R = \frac{a}{2 sin A} = \frac{6}{2 sin 6 0 ^{\circ}} = \frac{6}{2 \cdot \frac{3}{2}} = \frac{6}{3}$
$\frac{6}{3} = \frac{6 3}{3} = 23 см$ .

Ответ:

R = 23

см

\approx 3, 46

см.

Пример 2

В прямоугольном треугольнике катеты равны

6

см и

8

см. Найдите радиус описанной окружности.

Подсказка: Центр описанной окружности — середина гипотенузы, расстояние от неё до каждой вершины одинаково.

Находим гипотенузу по теореме Пифагора: $c = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 10 см$ .
Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: $R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5 см$ .

Ответ:

R = 5

см.

Пример 3

В треугольнике

A B C

стороны

a = 5

см,

b = 6

см,

c = 7

см. Найдите радиус описанной окружности.

Подсказка: Когда известны все три стороны, используй формулу Герона для площади, затем

R = \frac{ab c}{4 S}

Вычисляем полупериметр: $s = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9 см$ .
Находим площадь по формуле Герона. Множители под корнем: $p = 9$ , $p - a = 9 - 5 = 4$ , $p - b = 9 - 6 = 3$ , $p - c = 9 - 7 = 2$ . Тогда $S = 9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 216 = 66$ кв. см.
Применяем формулу радиуса через стороны и площадь: $R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 S} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{4 \cdot 6 6} = \frac{210}{24 6} = \frac{35}{4 6}$ .
$\frac{35}{4 6} = \frac{35 6}{24} см$ .

Ответ:

R = \frac{35 6}{24} см

\approx 3, 57

см.

Пример 4

В треугольнике

A B C

угол

B = 4 0^{\circ}

, сторона

b = A C = 8

см. Найдите радиус описанной окружности и углы при центре

O

, то есть центральный угол

∠ A O C

Сторона $b = A C$ противолежит углу $B = 4 0^{\circ}$ . По теореме синусов: $R = \frac{b}{2 sin B} = \frac{8}{2 sin 4 0 ^{\circ}} = \frac{8}{2 \cdot 0 , 643} \approx \frac{8}{1 , 286} \approx 6, 22 см$ .
Центральный угол $∠ A O C$ опирается на ту же дугу $A C$ , что и вписанный угол $B$ . По теореме о вписанном и центральном углах: центральный угол вдвое больше вписанного, опирающегося на ту же дугу.
$∠ A O C = 2 \cdot ∠ B = 2 \cdot 4 0^{\circ} = 8 0^{\circ}$ .

Ответ:

R \approx 6, 22

см;

∠ A O C = 8 0^{\circ}

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают описанную и вписанную окружность: описанная проходит через вершины, вписанная касается сторон изнутри. Центры и радиусы у них разные.
В формуле $R = \frac{a}{2 s i n A}$ берут не тот угол — $A$ должен быть углом, противолежащим стороне $a$ , а не соседним.
Для прямоугольного треугольника применяют общую формулу $R = \frac{ab c}{4 S}$ , хотя достаточно $R = \frac{c}{2}$ — ошибок меньше и счёт проще.
Считают, что центр описанной окружности всегда лежит внутри треугольника, и удивляются результату для тупоугольного треугольника.

Частые вопросы

Как найти радиус описанной окружности треугольника?

Перемножь стороны и раздели на учетверённую площадь:

R = \frac{ab c}{4 S}

. У прямоугольного треугольника радиус равен половине гипотенузы: катеты

6

8

, гипотенуза

10

R = 5

Центр описанной окружности треугольника это точка пересечения чего?

Серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов стороны, поэтому точка пересечения равноудалена от всех трёх вершин.

Где лежит центр описанной окружности?

У остроугольного треугольника внутри, у тупоугольного снаружи, у прямоугольного на середине гипотенузы. Поэтому у прямоугольного треугольника радиус равен половине гипотенузы.