Площадь треугольника

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Каждый треугольник имеет три высоты.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на соответствующую высоту:

$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_a$

где $a$ — выбранная сторона-основание, $h_a$ — высота, опущенная на эту сторону.

Почему делим на 2? Любой треугольник можно дополнить до параллелограмма, проведя через каждую вершину прямую, параллельную противоположной стороне. Площадь параллелограмма равна $a\cdot h$, а треугольник занимает ровно половину этого параллелограмма. Отсюда и коэффициент $\frac{1}{2}$.

Важно: основание и высота должны соответствовать друг другу — высота опускается именно на выбранное основание.

Если высота неизвестна, но известны две стороны и угол между ними, используют формулу через синус.

Пусть в треугольнике $ABC$ известны стороны $a$ и $b$ и угол $\angle C$ между ними. Из определения синуса угла в прямоугольном треугольнике высота $h=a\cdot \sin C$. Подставляя в основную формулу:

$S=\frac{1}{2}\cdot b\cdot a\cdot \sin C$

Словами: площадь равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними.

Эта формула работает для любого треугольника — остроугольного, тупоугольного, прямоугольного. Для прямоугольного треугольника угол $C=90^{\circ }$, $\sin 90^{\circ }=1$, и формула превращается в $S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b$ — произведение катетов, делённое на два.

Если известны только три стороны треугольника $a$, $b$, $c$, применяют формулу Герона.

1. Вычисляют полупериметр: $p=\frac{a+b+c}{2}$.

1. Площадь находят по формуле:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Когда применять: когда нет ни одного угла и ни одной высоты — только три стороны. Формула Герона всегда даёт точный ответ, но вычисления сложнее, чем в предыдущих случаях.

Проверка существования треугольника: перед применением формулы убедитесь, что заданные стороны образуют треугольник. Неравенство треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других. Если это не выполнено, треугольника не существует, и подкоренное выражение окажется отрицательным.

Прямоугольный треугольник. Катеты $a$ и $b$ являются взаимно перпендикулярными, поэтому каждый из них служит высотой для другого. Площадь:

$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b$

Равносторонний треугольник со стороной $a$. Высота равностороннего треугольника: $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Подставляя в основную формулу:

$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Эту формулу удобно использовать сразу, не вычисляя высоту отдельно.

Связь площадей подобных треугольников. Если треугольники подобны с коэффициентом подобия $k$, то их площади относятся как $k^2$:

$\frac{S_1}{S_2}=k^2$