Описанная окружность треугольника, 8 класс: задания

0 из 10

Описанная окружность треугольника

…

Примеры заданий с ответами

1Угол

A

четырёхугольника

A B C D

, вписанного в окружность, равен

109°

. Найдите угол

C

этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180°$ : $∠ C = 180° - 109° = 71°$ .

Ответ: 71

2Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
1) Все углы прямоугольника равны.
2) Площадь квадрата равна произведению его диагоналей.
3) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен разности квадратов катетов.
В ответ запишите номер истинного высказывания.

1) Верно: все они прямые.
2) Неверно: она равна половине произведения диагоналей.
3) Неверно: по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Ответ: 1

3Радиус окружности, описанной около квадрата, равен

32

. Найдите длину стороны этого квадрата.

Центр описанной окружности квадрата лежит в точке пересечения диагоналей, радиус равен половине диагонали, а диагональ $d = a 2$ .
$d = 2 R = 62$ , $a = d : 2 = 6$ .

Ответ: 6

4Центр окружности, описанной около треугольника

A B C

, лежит на стороне

A B

. Радиус окружности равен

26

. Найдите

A C

, если

B C = 48

Центр лежит на $A B$ , значит, $A B$ диаметр: $A B = 2 \cdot 26 = 52$ , а угол $C$ , опирающийся на диаметр, прямой.
По теореме Пифагора $A C = 5 2^{2} - 4 8^{2} = 20$ .

Ответ: 20

5В треугольнике

A B C

известно, что

A C = 5

B C = 12

, угол

C

равен

90°

. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, поэтому $R = A B : 2$ .
По теореме Пифагора $A B = 5^{2} + 1 2^{2} = 13$ , $R = 13 : 2 = 6, 5$ .

Ответ: 6,5

6Через центр

O

окружности, описанной около треугольника

A B C

, провели прямую, перпендикулярную стороне

A C

и пересекающую сторону

A B

в точке

M

. Периметр треугольника

A B C

равен

51

, периметр треугольника

B M C

равен

36

. Найдите

A C

Центр описанной окружности лежит на серединном перпендикуляре к стороне $A C$ . Прямая через $O$ , перпендикулярная $A C$ , и есть этот серединный перпендикуляр.
Точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре к $A C$ , поэтому $M A = M C$ .
$P_{B M C} = B M + M C + B C = B M + M A + B C = A B + B C$ .
$A C = P_{A B C} - (A B + B C) = 51 - 36 = 15$ .

Ответ: 15