Вписанная окружность треугольника

Вписанная окружность треугольника — окружность, которая лежит внутри треугольника и касается каждой его стороны.

Центр вписанной окружности называют инцентром и обозначают буквой $I$.

Почему центр лежит на биссектрисе? Расстояние от точки до прямой одинаково для обеих сторон угла тогда и только тогда, когда точка лежит на биссектрисе этого угла. Чтобы окружность с центром $I$ касалась обеих сторон угла $A$, точка $I$ должна быть равноудалена от этих сторон — значит, лежать на биссектрисе угла $A$. То же верно для углов $B$ и $C$.

Поэтому: инцентр $I$ — точка пересечения биссектрис треугольника.

Поскольку биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке (это доказывается в курсе 7 класса), вписанная окружность всегда существует и единственна.

Обозначим радиус вписанной окружности буквой $r$, стороны треугольника $ABC$ — как обычно: $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$, а полупериметр — $p=\frac{a+b+c}{2}$.

Основная формула: $r=\frac{S}{p}$ где $S$ — площадь треугольника, $p$ — его полупериметр.

Откуда берётся эта формула? Соединим инцентр $I$ с каждой вершиной треугольника. Треугольник $ABC$ разобьётся на три меньших треугольника: $△IAB$, $△IBC$, $△ICA$. Высота каждого из них, опущенная из $I$ на соответствующую сторону, равна $r$ (радиус вписанной окружности — это перпендикуляр из центра до точки касания). Тогда: $S_{△IAB}=\frac{1}{2}\cdot c\cdot r,S_{△IBC}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot r,S_{△ICA}=\frac{1}{2}\cdot b\cdot r.$ Сложим: $S=\frac{1}{2}r(a+b+c)=\frac{1}{2}r\cdot 2p=r\cdot p.$ Отсюда $r=\frac{S}{p}$.

Частный случай — прямоугольный треугольник. Для прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ площадь $S=\frac{ab}{2}$ и полупериметр $p=\frac{a+b+c}{2}$, поэтому: $r=\frac{ab}{a+b+c}.$ Ещё одна удобная формула для прямоугольного треугольника: $r=\frac{a+b-c}{2}.$ Обе формулы дают одинаковый результат (можно проверить алгебраически).

Пусть вписанная окружность касается стороны $BC$ в точке $A_1$, стороны $CA$ в точке $B_1$, стороны $AB$ в точке $C_1$.

Ключевое свойство касательных: два отрезка касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны.

Поэтому: $A{C}_1=A{B}_1=x,B{C}_1=B{A}_1=y,C{A}_1=C{B}_1=z.$

Из этих равенств получаем систему:

• $x+y=c$ (сторона $AB$)
• $y+z=a$ (сторона $BC$)
• $z+x=b$ (сторона $CA$)

Решая, находим: $x=p-a,y=p-b,z=p-c,$ где $p$ — полупериметр.

Практическое применение: если известны стороны треугольника, можно сразу найти, где именно окружность касается каждой стороны.

Построение циркулем и линейкой:

1. Построить биссектрису угла $A$ (разделить угол пополам).
2. Построить биссектрису угла $B$.
3. Точка пересечения биссектрис — инцентр $I$.
4. Опустить из точки $I$ перпендикуляр на любую сторону треугольника. Длина этого перпендикуляра и есть радиус $r$.
5. Провести окружность с центром $I$ и радиусом $r$.

Замечание: третью биссектрису строить не нужно — она автоматически проходит через ту же точку $I$ (это следует из теоремы).