Сравнение натуральных чисел

Вспомни, как ты считаешь: один, два, три, четыре, пять… Это и есть натуральный ряд: $1,2,3,4,5,\dots$ Каждое следующее число на 1 больше предыдущего, и тянется этот ряд бесконечно — досчитать «до конца» не получится.

Теперь главная идея. Представь очередь за мороженым: кто стоит раньше, тот ближе к началу. С числами так же!

Например, $5<8$: когда считаешь, пятёрку называешь раньше восьмёрки. Это же можно записать наоборот: $8>5$.

Если два числа означают одно и то же количество — они равны: $a=b$. Пять конфет — это пять конфет, как ни крути.

И запомни приятный факт: любые два натуральных числа всегда можно сравнить. Верно ровно одно из трёх: либо $a<b$, либо $a=b$, либо $a>b$. Два варианта сразу — никогда.

Что больше: 98 или 347? Можно долго думать, а можно заметить: в числе 347 три цифры, а в числе 98 — только две. И этого достаточно!

Почему это работает? Смотри: самое большое однозначное число — 9, а самое маленькое двузначное — 10. И $10>9$. То же с длинными числами: самое большое двузначное — 99, самое маленькое трёхзначное — 100, и $100>99$. Даже самый «слабый» представитель длинных чисел сильнее самого «мощного» из коротких — он как пятиклассник против первоклассника на перетягивании каната.

Примеры:

• $347>98$ (3 цифры против 2);
• $1000>999$ (4 цифры против 3 — хотя в 999 одни девятки!);
• $7<10$ (1 цифра против 2).

Одна ловушка: нули слева не считаются. Запись 007 — это не трёхзначное число, а обычная семёрка (как у Джеймса Бонда — агент 007 всё равно один).

А если цифр одинаково? Например, 457 и 439 — оба трёхзначные. Тогда устраиваем поразрядное сравнение: идём по цифрам слева направо, начиная со старшего (самого левого) разряда. Это как сравнивать слова в словаре: сначала первая буква, потом вторая…

Разбор. Сравним $457$ и $439$:

• сотни: $4=4$ — одинаково, идём дальше;
• десятки: $5>3$ — нашли различие!

Всё, ответ готов: $457>439$. На единицы (7 и 9) даже смотреть не нужно — они уже ничего не решают. Десятки главнее единиц, как капитан главнее матроса.

Пример с большими числами. Сравним $38421$ и $38604$:

• десятки тысяч: $3=3$;
• тысячи: $8=8$;
• сотни: $4<6$ — различие найдено!

Значит, $38421<38604$.

Вот знаки, которыми записывают результат сравнения:

• $<$ — меньше ($3<7$);
• $>$ — больше ($7>3$);
• $=$ — равно ($5=5$);
• $\le$ — меньше или равно;
• $\ge$ — больше или равно;
• $\ne$ — не равно ($4\ne 9$).

Как не перепутать $<$ и $>$? Представь, что знак — это клювик голодной птицы. Птица не дура: она всегда открывает рот к большему числу, а острый кончик тычет в меньшее. В записи $3<7$ остриё смотрит на 3 — тройка меньше.

Есть и двойное неравенство — когда число зажато между двумя другими, как начинка в бутерброде. Запись $5<8<12$ означает: восьмёрка больше 5 и одновременно меньше 12. Важно: в двойном неравенстве все знаки должны смотреть в одну сторону — иначе запись теряет смысл.

У сравнения есть свойства-помощники. Звучат по-научному, но смысл простой.

1. Транзитивность (по-простому: «правило цепочки»). Если $a<b$ и $b<c$, то $a<c$.

Житейский пример: если ты ниже старшего брата, а брат ниже папы — ты точно ниже папы, можно даже не мериться. С числами: раз $5<8$ и $8<12$, то $5<12$. Именно поэтому можно записать всю цепочку разом: $5<8<12$.

2. Прибавление одного и того же числа. Если $a<b$, то $a+c<b+c$ для любого натурального $c$ (буква $c$ — это число, которое прибавляем). Знак неравенства не меняется!

Представь: у тебя 3 наклейки, у друга 7. Бабушка подарила каждому ещё по 4. У тебя стало $3+4=7$, у друга $7+4=11$ — друг как был впереди, так и остался: $3<7⟹3+4<7+4$

3. Умножение на одно и то же число. Если $a<b$, то $a\cdot c<b\cdot c$ при натуральном $c$. Знак опять на месте.

Проверим: из $3<7$ следует $3\cdot 5<7\cdot 5$, то есть $15<35$ — верно!