Теория
ШпаргалкаВся теория по математике 5–9 класса: правила, формулы и разобранные примеры. Найди тему через поиск или выбери класс и сразу проверь себя в тренажёре.
5 класс27 статей
Натуральные числа и шкалы
Натуральные числа — это числа для счёта предметов: 1, 2, 3 и так далее. Их записывают цифрами по разрядам, сравнивают, отмечают точками на числовом луче. А шкала линейки или термометра — это тот же числовой луч с делениями.
ЧитатьЧисловой луч
Числовой луч — это линия с нулём в начале и стрелкой, на которой каждое число живёт в своей точке. С ним легко сравнивать числа и измерять расстояния между ними.
ЧитатьСравнение натуральных чисел
Сравнить два числа — значит выяснить, какое больше, какое меньше или они равны. Для этого смотрим, где числа стоят в натуральном ряду, и сравниваем их запись по разрядам.
ЧитатьСложение натуральных чисел
Сложение — главная операция в математике: оно объединяет числа в одно. Научишься складывать уверенно — и вся остальная математика станет проще.
ЧитатьВычитание натуральных чисел
Вычитание — действие, обратное сложению. Оно помогает найти разность: сколько останется или насколько одно число больше другого.
ЧитатьПростейшие уравнения
Чтобы решить простое уравнение, посмотри, каким компонентом действия стоит x, и найди его по правилу. В уравнении x + 48 = 94 неизвестно слагаемое, поэтому из суммы вычитаем известное слагаемое: x = 94 - 48 = 46. Подставь корень обратно: 46 + 48 = 94, равенство верное, значит уравнение решено правильно.
ЧитатьУмножение натуральных чисел
Умножение — это быстрый способ сложить много одинаковых чисел. Разберёмся, как оно устроено, какие у него есть хитрости и как умножать большие числа в столбик.
ЧитатьДеление натуральных чисел
Деление — это действие, обратное умножению. Оно помогает разделить что-то поровну или узнать, сколько раз одно число «помещается» в другом.
ЧитатьПорядок выполнения действий
Порядок действий — это правила, которые говорят, что считать первым, а что потом. Благодаря им у любого примера есть только один правильный ответ.
ЧитатьСтепень числа. Квадрат и куб числа
Степень — это короткая запись умножения числа самого на себя. Квадрат (²) и куб (³) — самые важные степени: они помогают считать площадь и объём.
ЧитатьПризнаки делимости
Признаки делимости — это хитрые правила, которые позволяют мгновенно, даже не деля, понять, делится ли число на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 или 25.
ЧитатьПростые и составные числа
Простое число делится только на 1 и на само себя, а составное можно «разобрать» на множители поменьше. Научимся их различать и раскладывать числа на простые множители — это супер-навык для работы с дробями.
ЧитатьНОД и НОК: наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
НОД и НОК — два помощника в мире чисел. НОД помогает делить поровну и сокращать дроби, а НОК — находить момент, когда два события совпадут, и подбирать общий знаменатель. Звучит серьёзно, а на деле — почти игра.
ЧитатьПонятие обыкновенной дроби
Дробь — это способ записать часть чего-то целого: кусок пиццы, половину шоколадки или результат деления, когда поровну не делится.
ЧитатьСравнение обыкновенных дробей
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель: 5/7 > 3/7. При одинаковых числителях больше дробь с меньшим знаменателем: 2/3 > 2/5. Если различаются и числители, и знаменатели, приведи дроби к общему знаменателю и сравни числители: 3/4 = 9/12, 5/6 = 10/12, значит, 3/4 < 5/6.
ЧитатьСложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, сложи числители, а знаменатель оставь прежним: 2/9 + 4/9 = 6/9 = 2/3. Вычитание устроено так же: 7/10 - 3/10 = 4/10 = 2/5. Ответ сократи, а из неправильной дроби выдели целую часть. Дроби с разными знаменателями сначала приводят к общему знаменателю, это тема 6 класса.
ЧитатьСмешанные числа
Смешанное число — это целое число и правильная дробь, записанные вместе. Например, «два с половиной» — это уже смешанное число! Здесь ты научишься превращать неправильные дроби в смешанные числа и обратно.
ЧитатьСложение и вычитание смешанных чисел
Смешанные числа складывают по частям: целую часть с целой, дробную с дробной: 23/7 + 12/7 = 35/7. Если дробная часть вышла неправильной, выдели из неё целое: 37/5 = 42/5. При вычитании, когда дробной части не хватает, займи единицу у целой части: 51/4 - 23/4 = 45/4 - 23/4 = 22/4 = 21/2. В ответе дробная часть должна быть правильной и несократимой.
ЧитатьДесятичные дроби
Десятичная дробь — это удобный способ записать дробь со знаменателем 10, 100 или 1000: целую часть отделяют от дробной запятой. С такой записью дроби считаются почти так же легко, как обычные числа.
ЧитатьСложение и вычитание десятичных дробей
Чтобы сложить или вычесть десятичные дроби, запиши их столбиком так, чтобы запятая стояла под запятой. Если знаков после запятой разное количество, допиши справа нули. Дальше считай как с целыми числами, а запятую в ответе ставь под запятыми. Пример: 4,72 + 1,8 = 4,72 + 1,80 = 6,52, а 5 - 0,4 = 4,6.
ЧитатьУмножение и деление десятичных дробей
Чтобы перемножить десятичные дроби, умножь их как целые числа, не глядя на запятые. Потом отдели в ответе справа столько цифр, сколько их после запятой у обоих множителей вместе: 1,2 · 0,3 = 0,36. Чтобы разделить на десятичную дробь, перенеси запятую вправо в делителе и в делимом на одинаковое число знаков: 4,8 : 0,6 = 48 : 6 = 8.
ЧитатьСреднее арифметическое
Чтобы найти среднее арифметическое, сложи все числа и раздели сумму на их количество. Например, для чисел 4, 7 и 10: (4 + 7 + 10) : 3 = 21 : 3 = 7. Так же считают средний балл, среднюю температуру и средний возраст.
ЧитатьПроценты
Процент — это одна сотая часть чего-нибудь. Научимся находить проценты от числа, восстанавливать число по его проценту и считать, сколько процентов одно число составляет от другого.
ЧитатьУглы. Виды углов
Угол образуют два луча с общим началом, его вершиной. Угол измеряют в градусах транспортиром. Острый угол меньше 90°, прямой равен 90°, тупой больше 90°, но меньше 180°, развёрнутый равен 180°. Пример: угол 35° острый, а 120° тупой. Биссектриса делит угол пополам: угол 80° она разрезает на два угла по 40°.
ЧитатьПрямоугольник. Площадь прямоугольника
Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все четыре угла прямые. Чтобы найти его площадь, перемножь две соседние стороны (длину и ширину). А периметр — это сумма всех четырёх сторон.
ЧитатьОбъём прямоугольного параллелепипеда
Чтобы найти объём прямоугольного параллелепипеда, перемножь его длину, ширину и высоту: V = abc. Например, у коробки 5 см × 6 см × 4 см объём равен 5 · 6 · 4 = 120 см³. Все три измерения бери в одних единицах, а ответ записывай в кубических: см³, дм³, м³.
ЧитатьОкругление чисел
Чтобы округлить число, посмотри на цифру справа от разряда округления. Если это 0, 1, 2, 3 или 4, цифра разряда не меняется. Если 5, 6, 7, 8 или 9, к ней прибавляют 1. Цифры правее в целой части заменяют нулями, в дробной отбрасывают. Пример: 2 738 ≈ 2 700 до сотен, 5,46 ≈ 5,5 до десятых.
Читать6 класс16 статей
Делимость натуральных чисел. Признаки делимости
Число делится на 2, если его последняя цифра чётная, на 5, если оно оканчивается на 0 или 5, на 10, если оканчивается на 0. На 3 и на 9 число делится, если на них делится сумма его цифр: у 738 сумма цифр 7 + 3 + 8 = 18, поэтому 738 делится и на 3, и на 9. Делимость на 4 и на 25 проверяют по двум последним цифрам.
ЧитатьПростые и составные числа
Все числа делятся на «кирпичики» и «постройки». Простое число — кирпичик: его делят без остатка только 1 и оно само. Составное — постройка из кирпичиков: у него делителей больше. А число 1 — особенное, оно ни то ни другое. Это разделение помогает раскладывать числа на множители, сокращать дроби и находить НОД и НОК.
ЧитатьНаибольший общий делитель. Взаимно простые числа
НОД нескольких натуральных чисел — это самое большое число, на которое все они делятся без остатка. Если НОД равен единице, числа называют взаимно простыми.
ЧитатьНаименьшее общее кратное
НОК (наименьшее общее кратное) чисел равно самому маленькому натуральному числу, которое делится на каждое из них. Найти НОК можно тремя способами: перебрать кратные большего числа, разложить числа на простые множители или разделить произведение чисел на их НОД.
ЧитатьОбыкновенные дроби. Основное свойство дроби
Одну и ту же часть целого можно записать разными дробями. Главный секрет: умножь или раздели числитель и знаменатель на одно и то же число — дробь не изменится. На этом держится всё: сокращение, общий знаменатель и сравнение дробей.
ЧитатьСравнение дробей
Дроби с одинаковыми знаменателями сравнивают по числителям: 7/9 > 4/9. При одинаковых числителях больше дробь с меньшим знаменателем: 3/5 > 3/8. В остальных случаях дроби приводят к общему знаменателю, равному НОК знаменателей: 5/8 = 15/24 и 7/12 = 14/24, поэтому 5/8 > 7/12. Десятичные дроби сравнивают по разрядам слева направо: 0,7 > 0,65.
ЧитатьСложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, приведи их к наименьшему общему знаменателю, то есть к НОК знаменателей, а потом сложи или вычти числители: 2/3 + 3/4 = 8/12 + 9/12 = 17/12 = 15/12. Дроби с одинаковыми знаменателями складывают по числителям, знаменатель не меняется. Смешанные числа складывают по частям: целые с целыми, дроби с дробями.
ЧитатьУмножение и деление обыкновенных дробей
Чтобы умножить дробь на дробь, перемножь отдельно числители и знаменатели: 2/3 · 4/5 = 8/15. Чтобы разделить дробь на дробь, умножь первую дробь на дробь, обратную второй: 3/4 : 9/8 = 3/4 · 8/9 = 2/3. Смешанные числа сначала переведи в неправильные дроби, а общие множители сокращай до умножения: 11/2 · 2/3 = 3/2 · 2/3 = 1.
ЧитатьОтношения и пропорции
Отношение — это сравнение двух чисел делением: во сколько раз одно больше другого. Пропорция — равенство двух отношений. На этом держатся карты, рецепты и расчёт цены, а главное свойство пропорции помогает находить неизвестное число.
ЧитатьМасштаб. Длина окружности и площадь круга
Масштаб 1 : n означает, что 1 см на карте соответствует n см на местности. При масштабе 1 : 100 000 отрезок 3 см на карте равен 3 км в жизни. Длину окружности находят по формуле C = 2π r, площадь круга по формуле S = π r², где π ≈ 3,14. Для r = 10 см получаем C ≈ 62,8 см и S ≈ 314 см².
ЧитатьЦелые числа. Положительные и отрицательные числа
Целые числа — это привычные 1, 2, 3..., нуль и их «зеркальные двойники» со знаком минус: −1, −2, −3... Они нужны, чтобы одним числом записывать мороз и жару, долг и накопления, глубину и высоту.
ЧитатьМодуль числа
Модуль числа — это расстояние от числа до нуля на координатной прямой. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому и модуль всегда неотрицателен.
ЧитатьСложение и вычитание целых чисел
Чтобы сложить числа с одинаковыми знаками, сложи их модули и поставь общий знак: (-3) + (-5) = -8. У чисел с разными знаками из большего модуля вычти меньший и поставь знак числа с большим модулем: -7 + 4 = -3. Вычитание заменяют сложением с противоположным числом: 2 - 9 = 2 + (-9) = -7, а 4 - (-6) = 4 + 6 = 10.
ЧитатьУмножение и деление целых чисел
При умножении и делении чисел с одинаковыми знаками получается положительное число, с разными знаками отрицательное: (-6) · (-4) = 24, (-18) : 3 = -6. Сначала определи знак ответа, потом перемножь или раздели модули. Если множителей несколько, чётное число минусов даёт плюс, нечётное минус: (-1) · (-2) · (-3) = -6. На ноль делить нельзя.
ЧитатьНачала статистики. Среднее арифметическое, мода, медиана
Среднее арифметическое равно сумме чисел, делённой на их количество. Мода показывает самое частое число ряда, а медиана стоит в середине ряда, записанного по возрастанию. Пример: для ряда 2, 3, 3, 5, 7 среднее равно (2 + 3 + 3 + 5 + 7) : 5 = 4, мода равна 3, медиана тоже 3. При чётном количестве чисел медиана равна среднему двух средних.
ЧитатьКоординатная плоскость
Координатную плоскость задают две перпендикулярные оси: горизонтальная Ox и вертикальная Oy, которые пересекаются в начале координат O(0; 0). Положение точки записывают парой чисел (x; y): сначала абсцисса, потом ордината. Точка A(3; -2) лежит на 3 единицы правее начала координат и на 2 ниже, в IV четверти.
Читать7 класс26 статей
Алгебра · 15
Выражения и их преобразования. Числовые выражения и выражения с переменными
Числовые выражения и выражения с переменными — это язык алгебры, с помощью которого записывают, сравнивают и преобразуют математические отношения.
ЧитатьЛинейное уравнение с одной переменной
Разбираемся, что такое линейное уравнение вида a·x = b, как найти его корень с помощью переноса слагаемых и равносильных преобразований, и что происходит в хитрых случаях, когда a = 0.
ЧитатьРешение задач с помощью уравнений
Чтобы решить задачу с помощью уравнения, обозначь неизвестную величину буквой x, вырази через неё остальные величины и приравняй выражения, которые по условию равны. Пример: в двух классах 58 учеников, во втором на 4 больше. Тогда x + (x + 4) = 58, 2x = 54, x = 27. В классах 27 и 31 ученик. Ответ проверь по условию задачи.
ЧитатьЧто такое функция. График функции
Разбираемся, что такое функция: как одна величина зависит от другой, что такое аргумент, значение функции и область определения, и как читать график функции.
ЧитатьПрямая пропорциональность y = kx
Разбираемся, что такое прямая пропорциональность: формула y = kx, смысл коэффициента k, график — прямая через начало координат — и как всё это работает в жизни.
ЧитатьЛинейная функция и её график
Линейная функция — это функция вида y = kx + b, график которой является прямой линией на координатной плоскости.
ЧитатьСтепень с натуральным показателем
Что такое степень, где у неё основание и показатель, и четыре главных свойства: умножение и деление степеней с одинаковым основанием, степень степени и степень произведения.
ЧитатьОдночлены. Стандартный вид одночлена
Одночлен — это произведение чисел и переменных, а стандартный вид позволяет записывать его в единой удобной форме с коэффициентом и степенью.
ЧитатьМногочлены. Сложение и вычитание многочленов
Разбираемся, что такое многочлен и его члены, как приводить подобные слагаемые и как складывать и вычитать многочлены, не теряя знаки при раскрытии скобок.
ЧитатьУмножение одночлена на многочлен. Умножение многочлена на многочлен
Чтобы умножить одночлен на многочлен, умножь одночлен на каждый член многочлена: 2x(x - 3) = 2x² - 6x. Чтобы умножить многочлен на многочлен, умножь каждый член первого на каждый член второго и приведи подобные: (x + 2)(x + 5) = x² + 5x + 2x + 10 = x² + 7x + 10. Из двух скобок по два члена получается четыре произведения. Знак перед членом умножай вместе с ним.
ЧитатьВынесение общего множителя за скобки
Вынести общий множитель за скобки значит записать сумму как произведение: ab + ac = a(b + c). В общий множитель берут НОД коэффициентов и буквы, которые есть в каждом слагаемом, в наименьшей степени: 6x² + 9x = 3x(2x + 3). От слагаемого, вынесенного целиком, в скобке остаётся 1: a² + a = a(a + 1). Проверь себя: раскрой скобки, и должно получиться исходное выражение.
ЧитатьРазложение на множители способом группировки
Разложение на множители способом группировки — метод преобразования многочлена в произведение, основанный на вынесении общего множителя из специально подобранных групп слагаемых.
ЧитатьФормулы сокращённого умножения
Формулы сокращённого умножения — это тождества, позволяющие быстро раскрывать скобки и раскладывать выражения на множители без громоздких вычислений.
ЧитатьМногочлены. Разложение на множители
Разложение многочлена на множители — это представление его в виде произведения более простых выражений, что позволяет решать уравнения, сокращать дроби и упрощать любые алгебраические вычисления.
ЧитатьСистемы линейных уравнений
Решением системы двух уравнений с двумя переменными называют пару чисел (x; y), при которой верны оба уравнения. Систему решают способом подстановки или способом сложения. Пример: в системе x + y = 7, x - y = 1 сложим уравнения: 2x = 8, x = 4, тогда y = 3. На графике решение системы совпадает с точкой пересечения двух прямых.
ЧитатьГеометрия · 11
Начальные геометрические сведения: точки, прямые, отрезки, лучи
Через две точки проходит ровно одна прямая. У отрезка два конца и конечная длина, у луча есть только начало, у прямой нет ни начала, ни конца. Если точка C лежит на отрезке AB, то AC + CB = AB: при AC = 3 см и CB = 5 см получаем AB = 8 см. Середина отрезка делит его на две равные части.
ЧитатьТреугольник. Основные понятия и элементы треугольника
Треугольник — простейшая замкнутая фигура, образованная тремя отрезками, и знание его элементов и свойств лежит в основе всей планиметрии.
ЧитатьПризнаки равенства треугольников (первый и второй)
Первый и второй признаки равенства треугольников позволяют доказать, что два треугольника совпадают по форме и размеру, не измеряя все шесть их элементов.
ЧитатьРавнобедренный треугольник и его свойства
Равнобедренный треугольник — треугольник с двумя равными сторонами — обладает особыми свойствами симметрии, которые упрощают решение задач на углы и отрезки.
ЧитатьТретий признак равенства треугольников
Третий признак равенства треугольников позволяет установить равенство двух треугольников, если известны все три стороны одного и соответствующие три стороны другого.
ЧитатьОкружность и круг. Основные понятия
Окружность — замкнутая кривая, все точки которой равноудалены от центра; круг — это плоская фигура, ограниченная окружностью.
ЧитатьПараллельные прямые. Признаки параллельности
Параллельные прямые — это прямые в одной плоскости, которые не пересекаются, и тема объясняет, как доказать параллельность через углы, образованные секущей.
ЧитатьАксиома параллельных прямых и следствия из неё
Аксиома параллельных прямых устанавливает единственность прямой, параллельной данной через внешнюю точку, и позволяет вывести свойства углов при параллельных прямых с секущей.
ЧитатьСумма углов треугольника
Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°.
ЧитатьПрямоугольный треугольник. Признаки равенства прямоугольных треугольников
Прямоугольный треугольник — особый вид треугольника с прямым углом; для него действуют специальные признаки равенства, использующие гипотенузу и катеты.
ЧитатьГеометрические места точек
Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек плоскости или пространства, обладающих заданным геометрическим свойством, и только они.
Читать8 класс50 статей
Алгебра · 26
Рациональные дроби. Основное свойство рациональной дроби
Рациональная дробь — это дробь вида P/Q, где P и Q — многочлены, и главное свойство позволяет умножать или делить числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое выражение без изменения значения дроби.
ЧитатьСложение и вычитание рациональных дробей
Сложение и вычитание рациональных дробей выполняется через приведение к общему знаменателю, после чего числители складываются или вычитаются, а результат обязательно сокращается.
ЧитатьУмножение и деление рациональных дробей
Умножение и деление рациональных дробей — операции, которые выполняются по чётким правилам: умножение числителей и знаменателей, а деление сводится к умножению на обратную дробь.
ЧитатьПреобразование рациональных выражений
Рациональные выражения — это дроби, числитель и знаменатель которых содержат многочлены; умение их преобразовывать лежит в основе решения большинства алгебраических задач 8–9 класса.
ЧитатьРациональные уравнения
Рациональные уравнения — это уравнения, содержащие переменную в знаменателе дроби, и их решение требует нахождения допустимых значений и проверки корней на ОДЗ.
ЧитатьМножества. Числовые множества
Множество — фундаментальное понятие математики: любая чётко определённая совокупность объектов, а числовые множества — это множества чисел разной природы, упорядоченные по включению от натуральных до вещественных.
ЧитатьПонятие квадратного корня. Арифметический квадратный корень
Квадратный корень из числа — это число, квадрат которого равен исходному; арифметический квадратный корень — неотрицательное значение этого корня.
ЧитатьУравнения и неравенства с модулем
Модуль числа — это его расстояние до нуля на числовой оси, и умение раскрывать модуль позволяет решать уравнения и неравенства, встречающиеся в ЕГЭ и реальных задачах.
ЧитатьФункция y = √x и её свойства
Изучаем функцию квадратного корня: область определения, основные свойства и построение графика — параболы, повёрнутой набок.
ЧитатьСвойства квадратных корней
Квадратный корень из неотрицательного числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен исходному; у него есть важные свойства, позволяющие упрощать и вычислять корни.
ЧитатьПреобразование выражений, содержащих квадратные корни
Корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней: √(ab) = √a · √b. Так множитель выносят из-под корня: √50 = √(25 · 2) = 5√2. Складывать можно только корни с одинаковым подкоренным выражением: 5√2 + 3√2 = 8√2. Корень в знаменателе убирают домножением: 6/√3 = 6√3/3 = 2√3. Помни, что √a² = |a|, например √((-5)²) = 5.
ЧитатьОсвобождение от иррациональности в знаменателе
Освобождение от иррациональности в знаменателе — это преобразование дроби, при котором знаменатель становится рациональным числом (без знаков корня).
ЧитатьКвадратное уравнение. Неполные квадратные уравнения
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, и умение его решать открывает путь к задачам о движении, площадях и многому другому.
ЧитатьДискриминант. Формула корней квадратного уравнения
Дискриминант — специальное выражение, которое позволяет определить количество корней квадратного уравнения и найти их по формуле.
ЧитатьТеорема Виета
Теорема Виета связывает корни квадратного уравнения с его коэффициентами через два простых соотношения — сумму и произведение.
ЧитатьКвадратный трёхчлен и его разложение на множители
Квадратный трёхчлен это многочлен ax² + bx + c, где a ≠ 0. Если у него есть корни x₁ и x₂, его можно разложить на множители: a(x - x₁)(x - x₂). Если дискриминант отрицательный, разложить нельзя.
ЧитатьБиквадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным
Биквадратное уравнение имеет вид ax⁴ + bx² + c = 0. Его решают заменой x² = t: получается обычное квадратное уравнение. Потом из каждого неотрицательного корня t находят x. Например, у уравнения x⁴ - 13x² + 36 = 0 корни ± 2 и ± 3.
ЧитатьРешение задач с помощью квадратных уравнений
Квадратные уравнения позволяют переводить текстовые задачи на язык алгебры и находить неизвестные величины, связанные нелинейными зависимостями.
ЧитатьИррациональные уравнения
Иррациональные уравнения — это уравнения, в которых переменная стоит под знаком корня, и их решают методом возведения обеих частей в степень с обязательной проверкой посторонних корней.
ЧитатьФункция y = ax², её свойства и график
Функция вида y = ax² — простейшая квадратная функция, чей график является параболой, открытой вверх или вниз в зависимости от знака коэффициента a.
ЧитатьФункция y = k/x и её график
Функция обратной пропорциональности y = k/x (при k ≠ 0) задаёт зависимость, в которой произведение переменных постоянно. Её график — гипербола, состоящая из двух ветвей.
ЧитатьСдвиги графика функции y = ax²
Добавляя к функции y = ax² числа внутри или снаружи скобок, можно сдвигать её параболу вдоль осей координат, не меняя формы и направления ветвей.
ЧитатьКвадратичная функция y = ax² + bx + c, её свойства и график
Квадратичная функция — функция вида y = ax² + bx + c, график которой является параболой, а её свойства (направление ветвей, вершина, нули) полностью определяются коэффициентами a, b, c.
ЧитатьЧисловые неравенства и их свойства
Числовые неравенства — это математические записи сравнения чисел, а их свойства позволяют выполнять законные преобразования обеих частей неравенства, сохраняя или меняя знак.
ЧитатьРешение линейных неравенств с одной переменной
Линейное неравенство с одной переменной решается аналогично уравнению, но с одним ключевым правилом: при умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
ЧитатьСтепень с целым показателем
Степень с целым показателем расширяет понятие степени на нулевой и отрицательные показатели: a⁰ = 1 и a⁻ⁿ = 1/aⁿ при a ≠ 0. Все свойства степеней при этом сохраняются.
ЧитатьГеометрия · 24
Четырёхугольники. Многоугольники
Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n - 2) · 180°, у четырёхугольника это 360°. В параллелограмме противоположные стороны и углы равны, а диагонали точкой пересечения делятся пополам. У прямоугольника диагонали равны, у ромба перпендикулярны. Площадь параллелограмма S = ah, трапеции S = ((a + b)h)/2: при a = 5, b = 9, h = 4 получаем S = 28.
ЧитатьСумма углов выпуклого многоугольника
Сумма внутренних углов любого выпуклого многоугольника с n сторонами равна 180° · (n − 2).
ЧитатьПараллелограмм и его свойства
Параллелограмм — четырёхугольник с двумя парами параллельных сторон; его свойства позволяют находить стороны, углы, диагонали и площадь.
ЧитатьТрапеция. Равнобедренная трапеция
Трапеция — четырёхугольник с одной парой параллельных сторон; равнобедренная трапеция обладает дополнительными свойствами симметрии, которые упрощают решение задач.
ЧитатьСредняя линия треугольника
Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон. Она параллельна третьей стороне и равна её половине. Средняя линия отсекает от треугольника маленький треугольник, площадь которого в 4 раза меньше.
ЧитатьПрямоугольник
Прямоугольник — частный случай параллелограмма, у которого все углы прямые, а диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.
ЧитатьРомб
Ромб — это параллелограмм, у которого все четыре стороны равны, и он обладает рядом особых свойств диагоналей и углов.
ЧитатьПрямоугольник, ромб, квадрат
Прямоугольник, ромб и квадрат — особые виды параллелограмма с дополнительными свойствами, которые позволяют вычислять их элементы быстрее и проще.
ЧитатьОсевая и центральная симметрия
Осевая и центральная симметрия — это два вида преобразований плоскости, при которых фигура отображается на равную ей фигуру относительно прямой или точки.
ЧитатьПлощадь многоугольника. Основные понятия
Площадь многоугольника — это числовая характеристика, показывающая, какую часть плоскости он занимает, и вычисляемая через стороны, высоты и диагонали.
ЧитатьПлощадь прямоугольника
Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину, а все свойства этой формулы вытекают из аксиом площади и разбиения фигуры на единичные квадраты.
ЧитатьПлощадь параллелограмма
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведённую к этому основанию.
ЧитатьПлощадь треугольника
Площадь треугольника выражается через основание и высоту, а также через стороны и углы — в зависимости от того, какие данные известны.
ЧитатьПлощадь трапеции
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
ЧитатьТеорема Пифагора
Теорема Пифагора устанавливает связь между длинами сторон прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
ЧитатьСинус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему. В треугольнике со сторонами 3, 4 и 5 у угла напротив катета 3 синус 0,6, косинус 0,8, тангенс 0,75.
ЧитатьТеорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках
Теорема Фалеса: если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то и на другой стороне они отсекают равные отрезки. Обобщение: параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. По теореме Фалеса любой отрезок можно разделить на равные части.
ЧитатьПодобные треугольники. Признаки подобия
Два треугольника называются подобными, если их углы равны попарно, а стороны пропорциональны — тема объясняет, как это распознавать и применять.
ЧитатьОтношение площадей подобных фигур
Если два многоугольника подобны с коэффициентом подобия k, то их площади относятся как k².
ЧитатьКасательная к окружности. Метрические соотношения
Касательная к окружности — прямая, которая касается окружности ровно в одной точке; метрические соотношения связывают длины отрезков касательных, секущих и хорд, проведённых из одной точки.
ЧитатьЦентральные и вписанные углы
Центральный угол равен дуге, которую он опирает, а вписанный угол равен половине той же дуги — это ключевое соотношение связывает углы в круге с его дугами.
ЧитатьВписанный угол. Теорема о вписанном угле
Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности; его величина равна половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
ЧитатьВписанная окружность треугольника
Вписанная окружность треугольника — это окружность, которая касается каждой из трёх его сторон изнутри, и её центр находится в точке пересечения биссектрис треугольника.
ЧитатьОписанная окружность треугольника
Описанная окружность проходит через все три вершины треугольника. Её центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам. Радиус равен произведению сторон, делённому на учетверённую площадь: R = (abc)/(4S). В прямоугольном треугольнике центр лежит на середине гипотенузы и R = c/2: при катетах 6 и 8 гипотенуза равна 10, а R = 5.
Читать9 класс32 статьи
Алгебра · 12
Решение квадратных неравенств
Квадратное неравенство — это неравенство вида ax² + bx + c > 0 (или с другим знаком), решить которое значит найти все значения x, при которых оно выполняется.
ЧитатьРациональные неравенства
Рациональные неравенства — это неравенства, в которых встречаются дроби с переменной в знаменателе; их решают методом замены на знакочередующиеся промежутки.
ЧитатьСистемы неравенств с одной переменной
Система неравенств с одной переменной — это несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно; решением является пересечение их множеств решений.
ЧитатьСистемы уравнений второй степени
Системы уравнений второй степени — это совокупность двух уравнений, хотя бы одно из которых содержит переменную во второй степени, и нужно найти все пары значений, удовлетворяющие обоим уравнениям одновременно.
ЧитатьФункции и их свойства (чётность, монотонность, экстремумы)
Функция чётная, если f(-x) = f(x), и нечётная, если f(-x) = -f(x); область определения в обоих случаях симметрична относительно нуля. Пример: y = x² чётная, y = x³ нечётная. Функция возрастает на промежутке, если большему x соответствует большее значение f(x). В точке максимума возрастание сменяется убыванием, в точке минимума наоборот.
ЧитатьСтепенная функция. Корень n-й степени
Корнем n-й степени из числа a называют число b, для которого bⁿ = a: ∛(-8) = -2, потому что (-2)³ = -8. При чётном n корень существует только при a ≥ 0, а при нечётном n для любого a. Функция y = xⁿ при чётном n чётная, её график симметричен относительно оси Oy; при нечётном n функция нечётная.
ЧитатьЧисловые последовательности и их свойства
Числовая последовательность — это упорядоченный бесконечный набор чисел, где каждый элемент стоит на строго определённом месте.
ЧитатьАрифметическая прогрессия
Арифметическая прогрессия — числовая последовательность, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число.
ЧитатьГеометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия — числовая последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же ненулевое число.
ЧитатьЭлементы комбинаторики
Комбинаторика учит считать число вариантов: правило суммы и правило произведения, факториал, перестановки, размещения и сочетания.
ЧитатьЭлементы статистики
Статистика описывает наборы данных числовыми характеристиками: средним арифметическим, медианой, модой и размахом, а распределение значений — частотой и относительной частотой.
ЧитатьЭлементы теории вероятностей
Теория вероятностей оценивает шансы случайных событий числом от 0 до 1: классическая вероятность P(A) = m/n, сложение и умножение вероятностей, геометрическая вероятность и связь частоты с вероятностью.
ЧитатьГеометрия · 20
Синус, косинус и тангенс угла от 0° до 180°
Синус и косинус угла от 0° до 180° это координаты точки на единичной полуокружности: косинус равен абсциссе, синус равен ординате. У тупого угла синус положительный, а косинус и тангенс отрицательные. Например, cos 120° = -1/2.
ЧитатьТеорема косинусов
Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус их удвоенное произведение на косинус угла между ними. Она помогает найти третью сторону по двум сторонам и углу между ними или угол по трём сторонам.
ЧитатьТеорема синусов
Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, а их отношение равно диаметру описанной окружности. С её помощью находят стороны по стороне и двум углам и радиус описанной окружности: R = a/(2sin α).
ЧитатьВекторы. Основные понятия и действия с векторами
Вектором называют направленный отрезок: у него есть длина и направление. Векторы складывают по правилу треугольника: AB + BC = AC. Вычитание сводится к сложению с противоположным вектором: a - b = a + (-b). При умножении на число k длина вектора умножается на |k|, а при k < 0 направление меняется на противоположное.
ЧитатьПонятие вектора. Равенство векторов
Вектор — это направленный отрезок, для которого важны длина и направление, а равенство векторов определяется через параллельный перенос.
ЧитатьСложение и вычитание векторов
Сложение и вычитание векторов — операции, позволяющие находить результирующее направление и величину из нескольких векторных слагаемых с помощью геометрических правил.
ЧитатьУмножение вектора на число
Умножение вектора на число — операция, которая изменяет длину вектора и, возможно, его направление, но не меняет прямую, вдоль которой он лежит.
ЧитатьКоординаты вектора. Разложение вектора по осям
Каждый вектор на плоскости однозначно задаётся парой чисел — своими координатами, которые показывают, как вектор раскладывается по направлениям осей координат.
ЧитатьПростейшие задачи в координатах
Координатный метод позволяет переводить геометрические задачи на язык чисел и формул — находить длины отрезков, координаты середин, уравнения прямых и расстояния между фигурами.
ЧитатьПрименение координат и векторов к решению геометрических задач
Координатный метод и векторная алгебра — мощные инструменты, которые превращают геометрические задачи в алгебраические вычисления.
ЧитатьСинус, косинус и тангенс суммы и разности углов
Формулы синуса, косинуса и тангенса суммы и разности двух углов позволяют вычислять тригонометрические значения составных углов через значения исходных.
ЧитатьСкалярное произведение векторов
Скалярное произведение двух векторов — это число, равное произведению их длин на косинус угла между ними; оно позволяет находить углы между прямыми и вычислять длины через координаты.
ЧитатьВписанная и описанная окружности четырёхугольника
Не каждый четырёхугольник можно вписать в окружность или описать вокруг окружности — существуют точные условия, при которых это возможно.
ЧитатьДлина окружности и дуги. Площадь круга и сектора
Длину окружности радиуса r находят по формуле C = 2π r, площадь круга по формуле S = π r². Дуга и сектор с центральным углом α составляют долю α/360 от целой окружности и целого круга: l = (π r α)/180, S = (π r² α)/360. Пример: при r = 6 и α = 60° длина дуги равна 2π, а площадь сектора 6π.
ЧитатьДвижения. Осевая и центральная симметрии
Движение — это преобразование плоскости, сохраняющее расстояния; осевая и центральная симметрии — два важнейших вида движений, встречающихся в природе, архитектуре и задачах геометрии.
ЧитатьГомотетия и подобие фигур
Гомотетия — это преобразование плоскости, растягивающее или сжимающее фигуры относительно фиксированной точки, сохраняя их форму; подобные фигуры — это фигуры, связанные таким преобразованием.
ЧитатьМногогранники: призма, пирамида, правильные многогранники
У призмы два равных параллельных основания, а боковые грани у прямой призмы прямоугольники, поэтому S_бок = P_осн · h. У пирамиды одно основание и боковые грани-треугольники с общей вершиной. Объём пирамиды в 3 раза меньше объёма призмы с теми же основанием и высотой. У любого выпуклого многогранника вершины минус рёбра плюс грани дают 2: у куба 8 - 12 + 6 = 2.
ЧитатьОбъёмы призмы и пирамиды
Объём призмы равен площади основания, умноженной на высоту: V = S_осн · h. Объём пирамиды с тем же основанием и той же высотой в 3 раза меньше: V = 1/3 S_осн · h. Пример: у призмы с основанием 12 см² и высотой 10 см объём 120 см³, у такой же пирамиды 40 см³. Высоту берут по перпендикуляру, а не по боковому ребру.
ЧитатьТела и поверхности вращения: цилиндр, конус, шар
Цилиндр, конус и шар — тела вращения, которые получаются поворотом плоской фигуры вокруг оси, и для каждого из них выведены формулы площади поверхности и объёма.
ЧитатьОбъёмы цилиндра, конуса и шара
Объём цилиндра V = π r² h, объём конуса в 3 раза меньше: V = 1/3π r² h, объём шара V = 4/3π R³. Пример: у цилиндра с r = 3 и h = 5 объём 45π, у конуса с такими же размерами 15π, а у шара радиуса 3 объём 36π. Если в задаче дан диаметр, сначала раздели его пополам.
Читать