Простейшие уравнения: как решать уравнения в 5 классе

Вернёмся к автобусу. Обозначим буквой $x$, сколько пассажиров было до остановки. Шесть вышли, десять зашли, стало 40:

$(x-6)+10=40$

Уравнение — это равенство с буквой, значение которой надо найти. Буква обозначает неизвестное число.

Подставим вместо $x$ число 36: $(36-6)+10=40$. Равенство верное! Значит, 36 подходит.

Корень уравнения — это число, которое при подстановке вместо буквы превращает уравнение в верное числовое равенство. Корень ещё называют решением уравнения.

Возьмём уравнение $2x+2=8$. Число 3 его корень, потому что $2\cdot 3+2=8$. А число 4 не корень: $2\cdot 4+2=10$, и $10\ne 8$. Знак $\ne$ читают «не равно».

Корень бывает не всегда один. В уравнении $x-x=0$ подходит любое число, а у уравнения $x-x=1$ корней нет совсем.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что их нет.

Сначала вспомни, как называются числа в сложении и вычитании:

$\text{слагаемое}+\text{слагаемое}=\text{сумма}$

$\text{уменьшаемое}-\text{вычитаемое}=\text{разность}$

Чтобы решить уравнение, определи, на каком месте стоит $x$. Дальше работает одно из трёх правил:

Если забыл правило, придумай пример попроще. Ты знаешь, что $5-2=3$. Как получить уменьшаемое 5 из чисел 2 и 3? Сложить их: $3+2=5$. А вычитаемое 2? Вычесть: $5-3=2$. Правило восстановлено за пять секунд.

Для умножения и деления правила устроены так же:

$\text{множитель}\cdot \text{множитель}=\text{произведение}$

$\text{делимое}:\text{делитель}=\text{частное}$

Запись $12x$ означает $12\cdot x$: знак умножения перед буквой обычно не пишут.

Иногда до правила надо упростить левую часть. В уравнении $11x+6x=408$ сложи одинаковые «иксы»: 11 штук и ещё 6 штук дают 17 штук, то есть $17x=408$. Теперь $x$ стал неизвестным множителем: $x=408:17=24$.

В уравнении $(m-124)+316=900$ сразу два действия. Главный приём: смотри на последнее действие и считай всё выражение со скобками одним числом.

Здесь последнее действие сложение. Скобка $(m-124)$ играет роль неизвестного слагаемого:

$m-124=900-316$

$m-124=584$

Получилось простое уравнение, в нём $m$ уменьшаемое:

$m=584+124=708$

Так уравнение «раздевают» слой за слоем, как матрёшку, пока буква не останется одна.

Ещё пример: $1000-(537-a)=642$. Последнее действие вычитание, скобка стоит на месте вычитаемого:

$537-a=1000-642=358$

И снова $a$ вычитаемое: $a=537-358=179$.

Со скобкой и умножением всё так же. В уравнении $8(x-14)=56$ скобка является неизвестным множителем, поэтому $x-14=56:8=7$, а дальше $x=7+14=21$.

Найденное число легко проверить: подставь его в исходное уравнение и посчитай. Получилось верное равенство, значит корень найден правильно.

Проверим корень $m=708$ из уравнения $(m-124)+316=900$:

$(708-124)+316=584+316=900$

Верно. А если бы ты по ошибке получил 460, проверка сразу бы это показала: $(460-124)+316=652$, а не 900.

Проверка занимает полминуты и ловит почти все ошибки: перепутанное правило, неверный знак, промах в вычислениях. На контрольной она спасает оценку.

Задача: Оксана задумала число. Если к нему прибавить 43 и полученную сумму вычесть из 96, то получится 25. Какое число задумала Оксана?

Действуй по шагам:

1. Обозначь буквой то, что спрашивают: пусть Оксана задумала число $x$.
2. Запиши условие по порядку: к числу прибавили 43, получили $x+43$; эту сумму вычли из 96 и получили 25:

$96-(x+43)=25$

1. Реши уравнение. Скобка стоит на месте вычитаемого: $x+43=96-25=71$. Теперь $x$ слагаемое: $x=71-43=28$.
2. Проверь по условию задачи: $28+43=71$, $96-71=25$. Сходится.
3. Запиши ответ на вопрос задачи: Оксана задумала число 28.

Слова «в 2 раза больше» записывай умножением ($2x$), а «на 5 больше» сложением ($x+5$). Если перепутать, уравнение получится про другую задачу.