5 класс Математика 9 мин чтения

Понятие обыкновенной дроби

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Дробь — это способ записать часть чего-то целого: кусок пиццы, половину шоколадки или результат деления, когда поровну не делится.

Проверь себя · 1 из 3

Как читается дробь

\frac{1}{2}

Ты заказал с друзьями пиццу, её разрезали на 8 кусков, и ты съел 3. Как записать, сколько пиццы ты съел? Целого числа для этого не хватит — тут и приходят на помощь дроби. Дроби нужны везде: отмерить полстакана воды, поделить конфеты поровну, понять скидку в магазине. В этой статье разберёмся, как устроена дробь, какие дроби бывают и как находить часть от числа.

Содержание 9

Что такое обыкновенная дробь

Разрезали яблоко на 4 равные части и взяли 3 из них. Записывается это так: $\frac{3}{4}$ . Вот это и есть обыкновенная дробь.

Определение. Обыкновенная дробь — это запись вида

\frac{a}{b}

, где

a

b

— натуральные числа (то есть числа, которыми считают: 1, 2, 3 и так далее).

Числитель — число НАД чертой ( $a$ ). Он отвечает на вопрос: сколько частей взяли?
Знаменатель — число ПОД чертой ( $b$ ). Он отвечает на вопрос: на сколько равных частей разделили целое?

Чёрточка между ними называется дробной чертой. И вот секрет: это на самом деле знак деления! $\frac{3}{4}$ читается «три четвёртых», а означает «три разделить на четыре».

Почему знаменатель не бывает нулём? Попробуй разрезать яблоко на ноль частей. Не получается? Вот и у математики не получается — делить на ноль запрещено. Поэтому в записи $\frac{a}{b}$ всегда $b \neq = 0$ .

Правильные и неправильные дроби

Правильная дробь — числитель меньше знаменателя, то есть

a < b

. Такая дробь меньше единицы: взяли меньше, чем целое. Например:

\frac{3}{7}

\frac{1}{2}

\frac{5}{8}

Неправильная дробь — числитель больше или равен знаменателю, то есть $a \geq b$ . Такая дробь — это целое или даже больше! Например: $\frac{7}{3}$ , $\frac{5}{5}$ , $\frac{11}{4}$ . Представь: ты взял 11 четвертинок пиццы — это почти три целые пиццы.

Смешанное число — это целое число и правильная дробь, записанные рядом: $2 \frac{3}{4}$ означает $2 + \frac{3}{4}$ . Две целые пиццы и ещё три четвертинки.

Любую неправильную дробь можно превратить в смешанное число. Дели числитель на знаменатель с остатком: сколько раз поделилось — это целая часть, а остаток идёт в числитель дробной части.

$11 \div 4 = 2 (остаток 3), \frac{11}{4} = 2 \frac{3}{4}$

Работает и в обратную сторону:

$2 \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$

Дробь — это деление

У тебя 3 шоколадки, а друзей вместе с тобой — четверо. Делим поровну: каждому достанется ровно $\frac{3}{4}$ шоколадки. Получается, дробь — это записанное деление.

Общее правило: $a \div b = \frac{a}{b}$ , где $a$ — что делим, $b$ — на сколько делим.

Из этого следует классный факт: любое натуральное число — тоже дробь! Просто со знаменателем 1: $5 = \frac{5}{1}$ , ведь $5 \div 1 = 5$ .

А если взять ВСЕ части? Съел все 8 кусков из 8 — съел целую пиццу. Если числитель равен знаменателю, дробь равна единице: $\frac{b}{b} = 1$ при любом $b \neq = 0$ .

Сравнение дробей с одинаковым знаменателем

Ты съел $\frac{5}{8}$ пиццы, а друг — $\frac{3}{8}$ . Кто съел больше? Куски-то одинаковые (пиццу резали на 8 равных частей), значит, просто сравниваем, у кого кусков больше: $5 > 3$ , поэтому

$\frac{5}{8} > \frac{3}{8}$

Правило: если знаменатели одинаковые, больше та дробь, у которой больше числитель.

А если знаменатели разные? Тогда куски разного размера, и так просто сравнить не выйдет — сначала дроби приводят к общему знаменателю. Этому ты научишься на следующих уроках.

Как найти дробь от числа

В классе 20 человек, и $\frac{3}{4}$ из них пришли на праздник. Сколько это человек? Действуем в два шага.

Чтобы найти $\frac{m}{n}$ от числа $A$ (здесь $m$ — числитель, $n$ — знаменатель, $A$ — само число):

Раздели $A$ на знаменатель $n$ — узнаешь, чему равна одна часть.
Умножь результат на числитель $m$ — возьмёшь нужное число частей.

Коротко: $\frac{m}{n}$ от $A$ — это $A \div n \cdot m$ .

Про наш класс: одна четверть — это $20 \div 4 = 5$ человек. Три четверти: $5 \cdot 3 = 15$ человек пришли на праздник.

Бывает и обратная задача — найти число по его части. Известно, что $\frac{3}{4}$ числа равны 15. Тогда одна четверть: $15 \div 3 = 5$ . А целое число: $5 \cdot 4 = 20$ . Просто идём в обратном порядке!

Ключевые формулы

\frac{a}{b}, b \neq = 0

Запись обыкновенной дроби:

a

— числитель (сколько частей взяли),

b

— знаменатель (на сколько частей разделили),

b

не равен нулю

a \div b = \frac{a}{b}

Дробь — это деление:

a

— что делим (числитель),

b

— на сколько делим (знаменатель)

n \frac{a}{b} = \frac{n \cdot b + a}{b}

Перевод смешанного числа в неправильную дробь:

n

— целая часть,

a

— числитель дробной части,

b

— знаменатель

\frac{m}{n} от A = A \div n \cdot m

Дробь от числа:

A

— само число,

n

— знаменатель (делим на него),

m

— числитель (умножаем на него)

Запомни

Числитель (сверху) — сколько частей взяли; знаменатель (снизу) — на сколько равных частей разделили целое.
Знаменатель никогда не равен нулю — на ноль делить нельзя.
Правильная дробь меньше 1 (числитель меньше знаменателя); неправильная — больше или равна 1.
Дробная черта — это знак деления: $\frac{a}{b} = a \div b$ .
Чтобы найти дробь от числа: дели на знаменатель, умножай на числитель.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Запишите в виде дроби: от апельсина взяли 2 дольки из 8 равных.

Подсказка: Знаменатель отвечает на вопрос «на сколько частей разделили?», числитель — «сколько взяли?».

Целый апельсин разделили на 8 равных долек — это знаменатель: 8.
Взяли 2 дольки — это числитель: 2.
Получаем дробь $\frac{2}{8}$ .

Ответ:

\frac{2}{8}

апельсина

Пример 2

Переведите неправильную дробь

\frac{17}{5}

в смешанное число.

Делим числитель на знаменатель с остатком: $17 \div 5 = 3$ (остаток $2$ ), потому что $5 \cdot 3 = 15$ и $17 - 15 = 2$ .
Целая часть — это частное: 3. Дробная часть — остаток над знаменателем: $\frac{2}{5}$ .
Получаем $\frac{17}{5} = 3 \frac{2}{5}$ .

Ответ:

3 \frac{2}{5}

Пример 3

Найдите

\frac{3}{7}

от числа 56.

Сначала находим одну седьмую от 56: $56 \div 7 = 8$ .
Теперь берём три такие части: $8 \cdot 3 = 24$ .

Ответ: 24

Пример 4

Число уменьшили на

\frac{2}{9}

его самого и получили 35. Найдите исходное число.

Если убрали $\frac{2}{9}$ числа, то осталось $\frac{9}{9} - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$ числа.
По условию $\frac{7}{9}$ числа — это 35. Находим $\frac{1}{9}$ : $35 \div 7 = 5$ .
Находим всё число, то есть $\frac{9}{9}$ : $5 \cdot 9 = 45$ .
Проверка: $\frac{2}{9}$ от 45 — это $45 \div 9 \cdot 2 = 10$ , и $45 - 10 = 35$ — верно.

Ответ: 45

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают числитель и знаменатель: говорят «две третьих», а пишут $\frac{3}{2}$ вместо $\frac{2}{3}$ . Запомни: знаменатель — это «фамилия» дроби (третьих, пятых), и стоит он снизу.
При переводе смешанного числа в неправильную дробь забывают прибавить числитель: пишут $\frac{2 \cdot 4}{4} = \frac{8}{4}$ вместо верного $\frac{2 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$ .
Думают, что неправильная дробь — это «ошибка». Нет! Это обычная форма записи, ею постоянно пользуются в вычислениях.
При нахождении дроби от числа делят на числитель вместо знаменателя. Порядок такой: сначала дели на знаменатель, потом умножай на числитель.