Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Если у дробей одинаковые знаменатели, значит, целое разрезано на одинаковые куски. А одинаковые куски можно просто пересчитать!

Вот пицца, разрезанная на 8 равных кусков. Ты взял 3 куска, потом ещё 2. Сколько всего? Конечно, 5 кусков из тех же восьми:

$\frac{3}{8}+\frac{2}{8}=\frac{3+2}{8}=\frac{5}{8}$

Отсюда правило: складываем числители, а знаменатель оставляем как есть. Знаменатель показывает размер кусков. Куски от сложения не меняются, меняется только их количество.

С вычитанием то же самое: вычитаем числители, знаменатель не трогаем:

$\frac{5}{8}-\frac{2}{8}=\frac{5-2}{8}=\frac{3}{8}$

Так же складывают и три дроби, и больше: $\frac{1}{9}+\frac{2}{9}+\frac{4}{9}=\frac{7}{9}$. Знаменатель по-прежнему один, числители складываем все.

Посчитать числители мало, ответ нужно проверить на два случая.

1. Дробь сокращается. Если числитель и знаменатель делятся на одно и то же число, раздели их на это число. Удобнее всего делить на наибольший общий делитель (НОД, самое большое число, на которое делятся оба):

$\frac{4}{10}+\frac{2}{10}=\frac{6}{10}=\frac{6:2}{10:2}=\frac{3}{5}$

2. Дробь неправильная. Если числитель получился больше знаменателя или равен ему, выдели целую часть: раздели числитель на знаменатель с остатком. Частное станет целой частью, остаток пойдёт в числитель:

$\frac{5}{7}+\frac{4}{7}=\frac{9}{7}=1\frac{2}{7}$

А если числитель равен знаменателю, получилась ровно единица: $\frac{3}{8}+\frac{5}{8}=\frac{8}{8}=1$. Собрали все 8 кусков из 8, то есть целую пиццу.

Смешанное число состоит из целой части и дроби. Например, $2\frac{3}{5}$ означает две целые пиццы и ещё три пятых. Складывать и вычитать такие числа удобнее всего по частям: целые с целыми, дроби с дробями.

Сложение. Сложи целые части, потом дробные. Если дробная часть «переполнилась» и стала неправильной, выдели из неё целую часть и добавь к целым:

$2\frac{3}{5}+1\frac{4}{5}=3+\frac{7}{5}=3+1\frac{2}{5}=4\frac{2}{5}$

Вычитание. Если дробная часть первого числа не меньше дробной части второго, просто вычитай по частям. А если меньше, займи единицу у целой части, как занимаешь десяток при вычитании в столбик. Единицу превращаем в дробь с тем же знаменателем: $1=\frac{5}{5}$.

Смотри, как работает заём: $3\frac{1}{5}-1\frac{3}{5}$. Дробь $\frac{1}{5}$ меньше, чем $\frac{3}{5}$, поэтому берём единицу взаймы: $3\frac{1}{5}=2\frac{6}{5}$. Теперь спокойно вычитаем:

$2\frac{6}{5}-1\frac{3}{5}=1\frac{3}{5}$

Запасной способ: переведи смешанные числа в неправильные дроби, посчитай, а потом верни ответ в смешанный вид. С займом возиться не придётся, зато числа получаются крупнее.

Возьмём $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{6}$. Это куски разного размера: четвертинка пиццы заметно больше шестой части. Сложить их по нашему правилу нельзя, так же как нельзя сложить 3 яблока и 2 арбуза и сказать «5 яблок».

Сначала такие дроби приводят к общему знаменателю, то есть перерезают куски помельче, чтобы они стали одинаковыми: $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$, $\frac{1}{6}=\frac{2}{12}$. А дальше работает уже знакомое правило для одинаковых знаменателей.

Как находить общий знаменатель, разобрано в теме 6 класса «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями». Пошаговый разбор с частыми ошибками есть и в статье «Как складывать и вычитать дроби с разными знаменателями».