Сравнение обыкновенных дробей

Сравнить две дроби — значит выяснить, какая из них больше, какая меньше, или понять, что они равны. Ответ записываем знаками $>$ («больше»), $<$ («меньше») или $=$ («равно»).

Как это представить? Дробь $\frac{a}{b}$ — это $a$ кусочков из $b$ одинаковых. Здесь $a$ — числитель (сколько кусочков взяли), а $b$ — знаменатель (на сколько кусочков разрезали целое). Например, $\frac{3}{8}$ пиццы — пиццу разрезали на $8$ равных кусков и взяли $3$.

Есть и второй способ увидеть дроби — на числовой прямой. Чем больше дробь, тем правее она стоит. Сравнить дроби — это как сравнить, кто дальше ушёл по дорожке.

Начнём с самого простого случая.

Два друга едят одинаковые шоколадки, каждая разделена на $11$ долек. Один съел $5$ долек, другой — $3$. Кто съел больше? Конечно, первый: дольки-то одинаковые, а их у него больше!

Здесь $a$ и $b$ — числители (сколько долек взяли), а $c$ — общий знаменатель (на сколько долек разрезано целое). Значок $⟺$ читается «тогда и только тогда» — правило работает в обе стороны.

Пример. $\frac{5}{11}>\frac{3}{11}$, потому что $5>3$. Всё, одна строчка!

А теперь хитрее. Что больше: $\frac{4}{7}$ или $\frac{4}{13}$? Числители одинаковые, а знаменатели разные.

Подумай про торт. Если разрезать торт на $7$ частей — куски получатся солидные. А если тот же торт разрезать на $13$ частей — куски будут тоненькие. Чем на большее число частей режем, тем мельче каждая часть. Берём по $4$ куска от каждого торта: $4$ больших куска — это явно больше, чем $4$ маленьких.

Здесь $a$ — одинаковый числитель, а $b$ и $c$ — знаменатели.

Пример. $\frac{4}{7}>\frac{4}{13}$, потому что $7<13$. Внимание: правило «наоборот» — меньший знаменатель даёт бо́льшую дробь!

Самый частый случай: не совпадает ничего. Например, $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{6}$ — попробуй сравни «на глаз»!

Хитрость такая: перепишем обе дроби так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Это называется привести к общему знаменателю. После этого работает первое правило — просто сравниваем числители.

Алгоритм:

1. Найди наименьшее общее кратное знаменателей — НОК (самое маленькое число, которое делится на оба знаменателя): $n=\text{НОК}(b,d)$.
2. Найди дополнительные множители (на что домножать каждую дробь): $m_1=n÷b$ и $m_2=n÷d$.
3. Умножь числитель И знаменатель каждой дроби на её множитель. Обязательно оба — иначе дробь изменится!
4. Сравни получившиеся числители.

Пример. Сравним $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{6}$. Считаем: $\text{НОК}(4,6)=12$. Множители: $12÷4=3$ и $12÷6=2$. Тогда $\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}=\frac{9}{12},\frac{5}{6}=\frac{5\cdot 2}{6\cdot 2}=\frac{10}{12}.$ Теперь легко: $9<10$, значит $\frac{3}{4}<\frac{5}{6}$.

Иногда можно обойтись вообще без общего знаменателя. Вот два лайфхака.

Сравнение с 1. Дробь меньше $1$, если числитель меньше знаменателя ($a<b$) — взяли меньше кусков, чем есть в целом. Равна $1$, если $a=b$. Больше $1$, если $a>b$. Если одна дробь меньше $1$, а другая больше — ответ виден сразу, считать нечего!

Сравнение с $\frac{1}{2}$. Дробь $\frac{a}{b}$ больше половины, когда $2a>b$ (удвоенный числитель больше знаменателя). Это позволяет сравнивать через «посредника»: если одна дробь меньше половины, а другая больше, то всё ясно: $\frac{a}{b}<\frac{1}{2}<\frac{c}{d}$, значит $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$.

Пример. Сравним $\frac{3}{7}$ и $\frac{5}{8}$. Проверяем первую: $2\cdot 3=6<7$, значит $\frac{3}{7}<\frac{1}{2}$. Проверяем вторую: $2\cdot 5=10>8$, значит $\frac{5}{8}>\frac{1}{2}$. Готово: $\frac{3}{7}<\frac{5}{8}$ — и нам не пришлось искать общий знаменатель $56$!