Числовые неравенства и их свойства

Числовое неравенство — это запись вида $a<b$, $a>b$, $a\le b$ или $a\ge b$, где $a$ и $b$ — числа или числовые выражения.

Знаки неравенств:

• $a<b$ — «$a$ меньше $b$»
• $a>b$ — «$a$ больше $b$»
• $a\le b$ — «$a$ меньше или равно $b$»
• $a\ge b$ — «$a$ больше или равно $b$»

Истинное неравенство — верное утверждение: $3<7$, $-5<-1$.
Ложное неравенство — неверное утверждение: $8<2$.

Чтобы сравнить два числа на числовой прямой: левее стоит меньшее. Например, $-3<-1$, потому что $-3$ левее $-1$.

Пример: из $2<5$ и $5<9$ следует $2<9$.

Знак неравенства не меняется. Пример: из $3<7$ получаем $3+2<7+2$, то есть $5<9$.

Знак неравенства не меняется. Пример: из $3<7$ и $c=2>0$ получаем $6<14$.

Знак неравенства меняется на противоположный. Пример: из $3<7$ и $c=-2<0$ получаем $-6>-14$.

Это самое важное правило — именно здесь чаще всего ошибаются!

Сложение неравенств одного знака.
Если $a<b$ и $c<d$, то $a+c<b+d$.

Пример: из $1<4$ и $2<5$ получаем $1+2<4+5$, то есть $3<9$ — верно.

Пример, почему вычитание запрещено.
Из $5>2$ и $4>1$ нельзя утверждать, что $5-4>2-1$. Проверим: $1>1$ — это ложь. Значит, вычитание неравенств не работает.

Двойное неравенство — запись вида $a<b<c$, что означает одновременно $a<b$ и $b<c$.

Пример: $-3<x<5$ означает, что $x$ больше $-3$ и меньше $5$.

Прибавление числа к двойному неравенству: если $a<b<c$, то $a+k<b+k<c+k$.

Умножение на положительное $k>0$: если $a<b<c$, то $a\cdot k<b\cdot k<c\cdot k$.

Умножение на отрицательное $k<0$: если $a<b<c$, то $a\cdot k>b\cdot k>c\cdot k$ — оба знака меняются.

Важное следствие свойств неравенств:

Квадрат любого ненулевого числа положителен: $a^2>0$ при $a\ne 0$.

Квадрат нуля равен нулю: $0^2\ge 0$.

Эти факты применяются при доказательстве неравенств. Например, из $a^2\ge 0$ можно вывести, что $a^2+b^2\ge 0$ всегда.

Сравнение квадратов неотрицательных чисел:
Если $0\le a<b$, то $a^2<b^2$.

Пример: $0\le 3<5$, поэтому $9<25$.

Обратное тоже верно: если $a^2<b^2$ и оба числа неотрицательны, то $a<b$.