Натуральные числа и шкалы

Представь: ты пересчитываешь свои наклейки — одна, две, три, четыре… Числа, которыми считают предметы: 1, 2, 3, 4, … — называются натуральными. Слово «натуральный» пришло из латыни: naturalis значит «природный», «естественный». Это самые первые числа, которые придумали люди — чтобы считать овец, мешки зерна и всё остальное вокруг.

Все натуральные числа вместе обозначают буквой $\mathbb{N}$. И запомни важную вещь: нуль — НЕ натуральное число. Подумай сам: разве можно сосчитать «ноль яблок»? Если яблок нет — считать нечего. Нуль придумали гораздо позже.

Цифры — это значки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Их ровно десять, поэтому наша система счёта называется десятичной. Из этих десяти значков, как из букв, собирается запись любого числа. Кстати, число и его запись — разные вещи: число «двенадцать» одно, а записать его можно по-разному — 12, словом «двенадцать» или римскими цифрами XII.

Разряды и классы. В записи числа у каждой цифры есть своё место — разряд. Разряды считают справа налево: единицы, десятки, сотни, тысячи и дальше. Место решает всё! В числе 30 цифра 3 — это три десятка, а в числе 300 та же тройка — уже три сотни.

Каждые три разряда (справа налево) объединяются в класс: класс единиц, класс тысяч, класс миллионов. Возьмём число 5 482 903 — допустим, столько жителей в большом городе. Разбираем справа налево: 3 — единицы, 0 — десятки, 9 — сотни, 2 — единицы тысяч, 8 — десятки тысяч, 4 — сотни тысяч, 5 — единицы миллионов.

У тебя 99 монет в игре, а у друга 100. У кого больше? Конечно, у друга! Любые два разных натуральных числа можно сравнить: одно из них всегда меньше другого.

Для записи сравнения есть знаки $<$ («меньше») и $>$ («больше»). Запись $a<b$ значит «число $a$ меньше числа $b$», а $a>b$ — «число $a$ больше числа $b$» (здесь $a$ и $b$ — просто любые числа). Хитрость, чтобы не путаться: знак — как клювик, и он всегда «клюёт» меньшее число острым концом.

Натуральный ряд — это все натуральные числа по порядку: $1,2,3,4,\dots$ Он начинается с 1 и никогда не заканчивается: к любому числу можно прибавить 1 и получить следующее. Самого большого натурального числа просто не существует — кто бы какое число ни назвал, всегда найдётся больше.

Числа можно не только писать, но и рисовать! Для этого есть числовой луч. Делается он так: рисуем луч (линию с началом, но без конца), отмечаем на нём начало отсчёта — точку для числа 0 — и выбираем единичный отрезок, то есть «шаг» длиной 1.

Теперь шагаем вправо от начала: один шаг — точка 1, два шага — точка 2, три — точка 3, и так до бесконечности. Число, которое соответствует точке, называется её координатой. Записывают так: $A(5)$ — точка $A$ с координатой 5. Это как адрес точки на луче.

Главное свойство числового луча: чем правее точка, тем больше её координата. Поэтому $a<b$ ровно тогда, когда точка с координатой $a$ стоит левее точки с координатой $b$. Сравнение чисел видно прямо на картинке!

На числовом луче живут только нуль и числа больше нуля — ведь луч идёт от начала только в одну сторону. С отрицательными числами и координатной прямой ты познакомишься в 6 классе. А пока запомни: числовой луч — это основа для шкал, о которых дальше.

Посмотри на свою линейку. Это же числовой луч, только настоящий! Шкала — это числовой луч (или его кусочек) с нанесёнными штрихами и числами, по которому измеряют величины.

Из чего состоит шкала.

• Деления — штрихи, идущие вдоль шкалы на равных расстояниях.
• Цена деления — сколько единиц «стоит» один промежуток между соседними штрихами. Например, между отметками 0 и 10 пять промежутков — значит, цена деления $10÷5=2$.
• Нулевая отметка — точка начала отсчёта.

Как найти цену деления: возьми два соседних подписанных числа, вычти из большего меньшее и раздели на количество промежутков (именно промежутков, а не штрихов!) между ними.

Где ты встречаешь шкалы каждый день: линейка (сантиметры), термометр (градусы), мерный стакан на кухне (миллилитры), спидометр в машине (скорость), весы со стрелкой. Каждый раз ты читаешь координату стрелки или уровня на числовом луче — даже не задумываясь об этом.

Как прочитать показание прибора: если стрелка точно на штрихе с числом — просто читай это число. Если стрелка между штрихами — возьми ближайшее меньшее подписанное число и прибавь к нему цену деления столько раз, на сколько промежутков стрелка ушла вперёд.

Мама спрашивает: «Сколько стоит игра?» Игра стоит 2 970 рублей, а ты отвечаешь: «Около трёх тысяч». Поздравляю — ты только что округлил число! Округлить — значит заменить число близким к нему, но с нулями на конце. Так проще прикидывать в уме.

Пример: округлим 4 738 до сотен. В разряде сотен стоит 7, проверочная цифра — 3 (десятки). Так как $3<5$, округляем вниз: $4738\approx 4700$

А теперь 4 768 до сотен. Проверочная цифра — 6. Так как $6\ge 5$, округляем вверх: $4768\approx 4800$

Знак $\approx$ читается «приближённо равно» — то есть «примерно».