6 класс Математика 11 мин чтения

Делимость натуральных чисел. Признаки делимости

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Число делится на 2, если его последняя цифра чётная, на 5, если оно оканчивается на 0 или 5, на 10, если оканчивается на 0. На 3 и на 9 число делится, если на них делится сумма его цифр: у 738 сумма цифр

7 + 3 + 8 = 18

, поэтому 738 делится и на 3, и на 9. Делимость на 4 и на 25 проверяют по двум последним цифрам.

Проверь себя · 1 из 3

Является ли число 5 делителем числа 35?

Представь: учитель пишет на доске число 4 836 и спрашивает, делится ли оно на 3. Один ученик начинает делить в столбик, а другой за пять секунд складывает цифры и говорит: «Да!» Хочешь быть вторым? Тогда читай дальше. Признаки делимости — это не фокус и не магия, а честные правила, которые вытекают из того, как устроена наша запись чисел. Они экономят кучу времени: при сокращении дробей, разложении на множители и даже в олимпиадных задачах.

Содержание 9

Делитель и кратное: кто есть кто

Начнём с простого. У тебя 18 конфет, и ты хочешь раздать их поровну троим друзьям. Получится? Да: каждому по 6 конфет, и ни одной лишней. Математик скажет: «18 делится на 3».

Определение. Число

a

делится на число

b

(записывают

b ∣ a

), если найдётся такое натуральное число

k

, что

a = b \cdot k .

Здесь

a

— то, что делим,

b

— то, на что делим, а

k

— результат деления.

С конфетами так: $18 = 3 \cdot 6$ . Значит, 3 — делитель числа 18 (на него можно разделить без остатка), а 18 — кратное числа 3 (оно получается из тройки умножением).

Запомнить легко: делитель — маленький помощник, на которого делят. Кратное — большое число, которое делится.

Три полезных свойства делимости:

Если $a$ делится на $b$ , а $b$ делится на $c$ , то $a$ делится и на $c$ . Цепочка! Например, 36 делится на 12, а 12 делится на 4 — значит, 36 точно делится на 4.
Если $a$ и $c$ оба делятся на $b$ , то их сумма $(a + c)$ и разность $(a - c)$ (когда $a \geq c$ ) тоже делятся на $b$ .
Если $a$ делится на $b$ , то и $a \cdot m$ делится на $b$ при любом натуральном $m$ (здесь $m$ — любой множитель).

Свойство 2 — настоящая палочка-выручалочка: чтобы проверить большую сумму, достаточно проверить каждое слагаемое по отдельности.

Признаки делимости на 2, 5 и 10: смотри на последнюю цифру

Эти три признака — самые лёгкие. Достаточно взглянуть на одну последнюю цифру числа, и ответ готов.

На 10: число делится на 10, если оно заканчивается на 0. Например, 250 — да, 257 — нет.

На 5: число делится на 5, если оно заканчивается на 0 или 5. Цены вроде 45 рублей или 120 рублей удобно делить на пятёрки именно поэтому.

На 2: число делится на 2, если его последняя цифра чётная: 0, 2, 4, 6 или 8.

А почему работает? Любое число можно «разобрать» по разрядам, как конструктор. Например: $4836 = 4 \cdot 1000 + 8 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 6.$ А в общем виде: $\overline{a_{n} a_{n - 1} \dots a_{1} a_{0}} = a_{n} \cdot 1 0^{n} + \dots + a_{1} \cdot 10 + a_{0} .$ Здесь $a_{0}$ — последняя цифра, $a_{1}$ — предпоследняя и так далее, а черта сверху означает «число, записанное этими цифрами». Все «десятки», «сотни», «тысячи» делятся и на 2, и на 5, и на 10. Так что судьбу числа решает только последний кусочек — цифра $a_{0}$ .

Кстати, числа, которые делятся на 2, называют чётными, а все остальные — нечётными.

Признаки делимости на 3 и на 9: складывай цифры

Тут последняя цифра не поможет. Зато поможет сумма всех цифр.

На 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

На 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Откуда это берётся? Заметь: $10 = 9 + 1$ , $100 = 99 + 1$ , $1000 = 999 + 1$ . Каждый разряд — это «почти девятки» плюс единичка. Например: $837 = 8 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 7 = 8 \cdot 99 + 3 \cdot 9 + (8 + 3 + 7) .$ Куски с девятками ( $8 \cdot 99$ и $3 \cdot 9$ ) делятся на 9 всегда, без вопросов. А в остатке собирается как раз сумма цифр: $8 + 3 + 7 = 18$ . Раз 18 делится на 9 — делится и всё число: проверь, $837 = 9 \cdot 93$ . И на 3 тоже делится, ведь всё, что делится на 9, делится и на 3.

Лайфхак: если сумма цифр получилась большая, складывай её цифры ещё раз. У числа 4 836 сумма цифр $4 + 8 + 3 + 6 = 21$ , а $2 + 1 = 3$ — значит, на 3 делится, на 9 нет.

Признаки делимости на 4 и на 25: смотри на две последние цифры

Логика та же, что с двойкой и пятёркой, только теперь нужен «хвост» из двух последних цифр.

На 4: число делится на 4, если число из его двух последних цифр делится на 4 (два нуля в конце тоже подходят).

На 25: число делится на 25, если оно заканчивается на 00, 25, 50 или 75. Других вариантов нет!

Почему две цифры? Потому что $100 = 4 \cdot 25$ . Все сотни, тысячи и дальше делятся и на 4, и на 25 автоматически. Остаётся проверить только двузначный хвостик.

Примеры. Число 1 348: хвост — 48, а $48 = 4 \cdot 12$ , значит, 1 348 делится на 4. Число 3 725: хвост — 25, значит, оно делится на 25.

Собираем признаки вместе: делимость на 6, 15 и 18

А что делать с числом 6? Своего признака у него нет, зато $6 = 2 \cdot 3$ . И тут признаки можно объединять — но с одним важным условием.

Определение. Числа

b

c

называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1:

НОД (b, c) = 1

. Проще говоря, у них нет общих делителей, кроме единицы. Например, 2 и 3 — взаимно простые.

Правило. Если

b

c

взаимно просты, то число

a

делится на произведение

b \cdot c

ровно тогда, когда оно делится и на

b

, и на

c

по отдельности.

Отсюда получаем три готовых признака:

На 6: делится и на 2, и на 3 (последняя цифра чётная И сумма цифр делится на 3).
На 15: делится и на 3, и на 5.
На 18: делится и на 2, и на 9.

Осторожно, ловушка! Объединять можно только взаимно простые множители. Нельзя проверять делимость на 4 как «делится на 2 и на 2» — это просто делимость на 2, и не больше. Смотри: 6 делится на 2, но на 4 не делится. Вот почему условие $НОД (b, c) = 1$ так важно.

Ключевые формулы

a = b \cdot k, k \in N

Определение делимости

a = b \cdot k

a

— число, которое делим (кратное),

b

— делитель,

k

— натуральное число, результат деления

b ∣ a_{1} и b ∣ a_{2} ⟹ b ∣ (a_{1} + a_{2})

Делимость суммы: если

b

— делитель и числа

a_{1}

, и числа

a_{2}

(оба слагаемых делятся на

b

), то их сумма

a_{1} + a_{2}

тоже делится на

b

\overline{a_{n} a_{n - 1} \dots a_{1} a_{0}} = a_{n} \cdot 1 0^{n} + a_{n - 1} \cdot 1 0^{n - 1} + \dots + a_{1} \cdot 10 + a_{0}

Разложение числа по разрядам — основа всех признаков:

a_{0}

— последняя цифра,

a_{1}

— предпоследняя, …,

a_{n}

— первая цифра числа, а черта сверху означает число, записанное этими цифрами

НОД (b, c) = 1 ⟹ (b \cdot c ∣ a ⟺ b ∣ a и c ∣ a)

Составной признак: если

b

c

взаимно просты (

НОД (b, c) = 1

— их наибольший общий делитель равен 1), то число

a

делится на

b \cdot c

ровно тогда, когда

a

делится и на

b

, и на

c

Запомни

Делимость на 2, 5 и 10 проверяй по одной последней цифре числа.
Делимость на 3 и на 9 проверяй по сумме всех цифр числа.
Делимость на 4 и на 25 проверяй по двум последним цифрам числа.
Объединять признаки можно только для взаимно простых множителей: делимость на 6 — это делимость и на 2, и на 3 одновременно.
Если два числа делятся на b, то их сумма и разность тоже делятся на b.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Определи, делится ли число 4 836 на 2, на 3, на 9 и на 6.

Подсказка: Начинай с суммы цифр — она сразу даёт ответ и для 3, и для 9.

На 2: последняя цифра — 6, она чётная. Значит, 4 836 делится на 2. Первый ответ получен за секунду!
На 3 и на 9: считаем сумму цифр: $4 + 8 + 3 + 6 = 21$ . Число 21 делится на 3, ведь $21 = 3 \cdot 7$ . А на 9 — нет: ближайшие кратные девятки — это 18 и 27, а 21 между ними. Итог: 4 836 делится на 3, но не делится на 9.
На 6: вспоминаем составной признак. Число делится и на 2, и на 3, а $НОД (2, 3) = 1$ (двойка и тройка взаимно просты). Значит, 4 836 делится на 6.

Ответ: 4 836 делится на 2, на 3 и на 6, но не делится на 9.

Пример 2

Делится ли число 73 500 на 4 и на 25?

На 4: смотрим на две последние цифры — это 00, то есть число 0. А ноль делится на что угодно: $0 = 4 \cdot 0$ . Значит, 73 500 делится на 4.
На 25: те же две последние цифры 00 делятся и на 25, ведь $0 = 25 \cdot 0$ . Значит, 73 500 делится на 25.

Ответ: 73 500 делится и на 4, и на 25.

Пример 3

Найди наименьшее натуральное число, которое нужно прибавить к 10 481, чтобы сумма делилась на 9.

Считаем сумму цифр числа 10 481: $1 + 0 + 4 + 8 + 1 = 14$ .
Ищем ближайшее кратное девятки, которое больше 14. Это 18. До него не хватает $18 - 14 = 4$ .
Проверяем: $10481 + 4 = 10485$ . Сумма цифр: $1 + 0 + 4 + 8 + 5 = 18$ , а $18 = 9 \cdot 2$ . Отлично, 10 485 делится на 9!

Ответ: Наименьшее такое число равно 4.

Пример 4

Докажи, что число вида

\overline{ab c ab c}

(шестизначное, в котором первые три цифры повторяются, например 123 123) делится на 7, 11 и 13.

Подсказка: Запись числа через разряды — универсальный приём для доказательств делимости.

Хитрость: запишем число через его трёхзначную «половинку». Приписать $\overline{ab c}$ к самому себе — это то же самое, что умножить на 1000 и прибавить себя: $\overline{ab c ab c} = \overline{ab c} \cdot 1000 + \overline{ab c} = \overline{ab c} \cdot 1001$ .
Раскладываем 1001 на простые множители: $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$ . Красивое разложение, его стоит запомнить!
Получаем $\overline{ab c ab c} = \overline{ab c} \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$ . Внутри сидят множители 7, 11 и 13 — значит, число делится на каждый из них.

Ответ: Любое число вида

\overline{ab c ab c}

делится на 7, на 11 и на 13.

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Объединяют признаки для НЕ взаимно простых множителей: проверяют делимость на 4 как «делится на 2 и на 2». Но это просто делимость на 2! Например, 6 делится на 2, а на 4 — нет.
Считают сумму цифр невнимательно: пропускают цифру или забывают про нули. Складывай цифры по порядку и проверяй себя.
Путают «делитель» и «кратное». Запомни: делитель — то, НА ЧТО делят (он меньше или равен), кратное — то, ЧТО делится (оно больше или равно).
Думают: «не делится на 9 — значит, не делится и на 3». Это неверно! Число 12 на 9 не делится, а на 3 — отлично делится.