6 класс Математика 10 мин чтения

Простые и составные числа, 6 класс

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Все числа делятся на «кирпичики» и «постройки». Простое число — кирпичик: его делят без остатка только 1 и оно само. Составное — постройка из кирпичиков: у него делителей больше. А число 1 — особенное, оно ни то ни другое. Это разделение помогает раскладывать числа на множители, сокращать дроби и находить НОД и НОК.

Проверь себя · 1 из 3

Выбери верное разложение числа 15 на простые множители

Представь конструктор LEGO. Любую постройку можно разобрать на отдельные кирпичики. С числами так же! Например, $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ — число 12 «собрано» из кирпичиков 2 и 3. Такие числа-кирпичики называют простыми, и из них складываются ВСЕ остальные натуральные числа. В этой теме ты научишься отличать кирпичик от постройки и разбирать любое число на детали. Это умение пригодится тебе постоянно: при сокращении дробей, поиске НОД и НОК и почти везде, где есть деление.

Содержание 9

Делители: кто делит число нацело

Допустим, у тебя 12 конфет, и ты хочешь раздать их друзьям поровну, без остатка. Скольким друзьям это получится сделать? Одному (все 12), двоим (по 6), троим (по 4), четверым (по 3), шестерым (по 2) или двенадцати (по 1). Числа $1, 2, 3, 4, 6, 12$ — это и есть делители числа 12.

Делитель числа $n$ (буквой $n$ обозначаем само число) — это натуральное число, на которое $n$ делится без остатка.

Как найти все делители и ничего не пропустить? Перебирай по порядку: $1, 2, 3, \dots$ — и записывай делители ПАРАМИ. Нашёл один — второй получаешь делением: $12 : 1 = 12, 12 : 2 = 6, 12 : 3 = 4$ Получились пары: $1$ и $12$ , $2$ и $6$ , $3$ и $4$ . Дальше пары начнут повторяться — значит, всё найдено!

Заметь: у любого числа больше 1 есть как минимум два делителя — единица и само число. А вот у числа 1 делитель всего один — оно само. Запомни это, скоро пригодится.

Простые числа — кирпичики математики

Простое число — это натуральное число больше 1, у которого ровно ДВА делителя: единица и оно само.

Попробуй раздать 7 конфет поровну. Получится только два варианта: одному человеку все 7 или семерым по одной. По-другому никак! Значит, 7 — простое число.

Вот начало списка простых чисел: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 \dots$

А почему 1 — не простое? Хитрый вопрос! У единицы только ОДИН делитель, а у простого числа должно быть ровно два. И это не придирка: если бы 1 считалась простой, разбор числа на кирпичики потерял бы смысл. Смотри: $6 = 2 \cdot 3$ , но тогда и $6 = 1 \cdot 2 \cdot 3$ , и $6 = 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3$ — единицы можно дописывать бесконечно. Получилась бы каша вместо одного-единственного разложения.

Секрет числа 2. Это единственное ЧЁТНОЕ простое число. Любое другое чётное число (4, 6, 8...) делится на 2 — а это уже третий делитель, лишний для простого числа.

Составные числа — постройки из кирпичиков

Составное число — это натуральное число больше 1, у которого делителей БОЛЬШЕ двух. Название говорит само за себя: оно «составлено» из множителей поменьше.

Например, 15 шоколадок можно разложить в 3 ряда по 5 штук — получится аккуратный прямоугольник: $15 = 3 \cdot 5$ . А вот из 7 шоколадок прямоугольник (кроме скучной полоски в один ряд) не сложишь — потому что 7 простое!

Примеры составных чисел: $4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15 \dots$

Любое составное число можно записать как произведение двух множителей, каждый из которых больше 1: $15 = 3 \cdot 5, 36 = 4 \cdot 9 = 6 \cdot 6$

Итого, все натуральные числа делятся на три команды:

единица — одиночка, не простое и не составное;
простые: $2, 3, 5, 7, 11 \dots$ — кирпичики;
составные: $4, 6, 8, 9, 10 \dots$ — постройки из кирпичиков.

Решето Эратосфена: просеиваем числа

Как найти ВСЕ простые числа, скажем, до 50? Больше двух тысяч лет назад греческий учёный Эратосфен придумал гениально простой способ — решето. Как сито отделяет муку от комочков, так решето Эратосфена отделяет простые числа от составных.

Действуем так (ищем простые до 50):

Выпиши все числа от 2 до 50.
Первое незачёркнутое — это 2, оно простое. Зачеркни все числа, кратные 2 (то есть те, что делятся на 2): $4, 6, 8, \dots$
Следующее незачёркнутое — 3, оно простое. Зачеркни кратные трём: $6, 9, 12, \dots$
Дальше 5 — простое. Зачеркни $10, 15, 20, \dots$
Потом 7 — простое. Зачеркни $14, 21, 28, \dots$
И всё, можно остановиться! Почему? Потому что $7^{2} = 49$ — ещё меньше 50, а вот $1 1^{2} = 121$ — уже больше. Все выжившие числа — простые.

Вот они, простые до 50: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47$

Главный лайфхак. Проверяешь число $n$ на простоту? Ищи делители только до $n$ (корень из $n$ — это число, которое при умножении само на себя даёт $n$ ). Почему хватит? Делители ходят парами: если один делитель больше корня, то его напарник меньше — и ты бы его уже встретил.

Разбираем число на простые множители

Теперь главный фокус: ЛЮБОЕ составное число можно разобрать на простые кирпичики, причём только одним способом (порядок множителей не в счёт). Это настолько важный факт, что его называют основной теоремой арифметики.

Как разбирать: дели число на самый маленький простой делитель, результат — снова на самый маленький, и так, пока не дойдёшь до 1.

Разберём число 360: $360 : 2 = 180, 180 : 2 = 90, 90 : 2 = 45$ $45 : 3 = 15, 15 : 3 = 5, 5 : 5 = 1$

Собираем все делители, на которые делили. Одинаковые множители записываем степенью (степень — это короткая запись повторяющегося умножения): $360 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$

Зачем это нужно? Разложение на простые множители — твой главный инструмент для поиска НОД и НОК, сокращения дробей и кучи задач на делимость.

Ключевые формулы

d \leq n

d \leq n

— граница проверки на простоту:

n

— число, которое проверяем,

d

— делитель, который ищем,

n

— корень из

n

. Если до корня делителей нет — число простое

n = p_{1}^{a_{1}} \cdot p_{2}^{a_{2}} \cdot \dots \cdot p_{k}^{a_{k}}, p_{1} < p_{2} < \dots < p_{k}

Разложение на простые множители:

n

— само число,

p_{1}, p_{2}, \dots, p_{k}

— его простые делители (от меньшего к большему),

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}

— степени, то есть сколько раз каждый кирпичик повторяется

τ (n) = (a_{1} + 1) (a_{2} + 1) \dots (a_{k} + 1)

Количество делителей числа:

τ (n)

— сколько всего делителей у числа

n

(читается «тау»),

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}

— степени из разложения на простые множители. К каждой степени прибавляем 1 и всё перемножаем

Запомни

Простое число — ровно два делителя: 1 и само число. Составное — больше двух.
Число 1 — особенное: оно НЕ простое и НЕ составное.
Число 2 — единственное чётное простое число. Все остальные простые — нечётные.
Проверяешь число $n$ на простоту — перебирай простые делители только до $n$ . Ни один не подошёл? Число простое!
Любое составное число раскладывается на простые множители единственным способом — это основная теорема арифметики.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Является ли число 37 простым?

Подсказка: Проверяй делители только до

n

и только простые: 2, 3, 5, 7, …

Сначала узнаем, докуда проверять: $37 \approx 6, 08$ . Значит, хватит проверить простые числа 2, 3 и 5.
Проверка на 2: число 37 нечётное — на 2 не делится.
Проверка на 3: сумма цифр $3 + 7 = 10$ , а 10 на 3 не делится — значит, и 37 не делится.
Проверка на 5: число 37 не оканчивается на 0 или 5 — на 5 не делится.
Ни один кандидат не подошёл, а дальше корня проверять не нужно. Дело закрыто!

Ответ: 37 — простое число.

Пример 2

Разложите число 84 на простые множители.

Подсказка: Всегда начинай с самого маленького простого делителя — с двойки. Потом 3, 5, 7 и так далее.

Число 84 чётное — делим на 2: $84 : 2 = 42$ .
42 тоже чётное — снова делим на 2: $42 : 2 = 21$ .
21 нечётное, пробуем 3: сумма цифр $2 + 1 = 3$ делится на 3. Делим: $21 : 3 = 7$ .
7 — простое число (кирпичик!): $7 : 7 = 1$ . Разбор окончен.
Собираем все кирпичики вместе: $84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7$ .

Ответ:

84 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7

Пример 3

Найдите все простые числа от 40 до 50 с помощью решета Эратосфена.

Подсказка: Для чисел до 50 хватит просеять через 2, 3, 5 и 7, ведь

7^{2} = 49 \leq 50

, а

1 1^{2} = 121 > 50

Выпишем подозреваемых: 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50.
Просеиваем через 2 — вычёркиваем чётные: 40, 42, 44, 46, 48, 50.
Просеиваем через 3 — вычёркиваем 42 (уже вычеркнуто) и 45.
Просеиваем через 5 — кратные 40, 45, 50 уже вычеркнуты.
Просеиваем через 7: $7 \cdot 7 = 49$ — вычёркиваем 49.
В решете остались: 41, 43, 47. Это и есть простые!

Ответ: Простые числа от 40 до 50: 41, 43, 47.

Пример 4

Сколько делителей имеет число 180? Используйте каноническое разложение.

Подсказка: Формула

τ (n) = (a_{1} + 1) (a_{2} + 1) \dots (a_{k} + 1)

работает только с разложением на простые множители. И не забудь прибавить 1 к КАЖДОЙ степени!

Разберём 180 на простые кирпичики: $180 : 2 = 90$ , $90 : 2 = 45$ , $45 : 3 = 15$ , $15 : 3 = 5$ , $5 : 5 = 1$ .
Записываем разложение степенями: $180 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{1}$ .
Теперь формула: берём каждую степень, прибавляем к ней 1 и перемножаем. $τ (180) = (2 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 3 \cdot 3 \cdot 2 = 18$ .

Ответ: У числа 180 ровно 18 делителей.

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Считать единицу простым числом. У простого числа ровно ДВА делителя, а у единицы только один — она сама. Так что 1 вне игры.
Бросать проверку слишком рано. Число 91 выглядит простым, но $91 = 7 \cdot 13$ ! Это видно, только если честно дойти до проверки на 7. Проверяй все простые до $n$ .
Проверять делимость на ВСЕ числа подряд до самого $n$ . Это лишняя работа: если делителя нет до $n$ , его нет вообще.
Раскладывать число как попало, например сразу $360 = 8 \cdot 45$ . Ответ в итоге сойдётся, но 8 и 45 — ещё составные, их придётся разбирать дальше. Легко запутаться и потерять множитель. Надёжнее всегда начинать с наименьшего простого делителя.