Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и 11

Пример: $7452$ делится на 2, 3, 4, 6 и 9. Оно чётное, сумма цифр $18$, а $52:4=13$.

Любое число можно разбить на десятки и единицы: $3584=358\cdot 10+4$.

Десятки всегда делятся на 2, на 5 и на 10, ведь $10=2\cdot 5$. Поэтому всё решает последняя цифра.

• $3584$ делится на 2: последняя цифра 4 чётная.
• $2345$ делится на 5: последняя цифра 5.
• $4870$ делится и на 2, и на 5, и на 10: на конце 0.

Тут та же идея, только кусок больше. $100$ делится на 4 и на 25, а $1000$ делится на 8. Значит, сотни не мешают, и проверять нужно хвост числа.

• $7348$ делится на 4: $48:4=12$.
• $5216$ делится на 8: $216:8=27$.
• $12500$ делится на 25: на конце 00. А на 8 не делится: $500:8=62,5$.

Почему работает сумма цифр? Потому что $10=9+1$, $100=99+1$, $1000=999+1$. Разложим $471$:

$471=4\cdot 99+7\cdot 9+12$

Первые два слагаемых делятся на 9 и на 3. Остаётся $12$, а это как раз сумма цифр: $4+7+1=12$. Она делится на 3, но не на 9, поэтому $471$ делится на 3, но не на 9.

Сумма цифр даёт и остаток. У $2347$ сумма цифр $16$, а $16$ при делении на 9 даёт остаток 7. Значит, и $2347$ при делении на 9 даёт остаток 7.

Для составного числа признаки склеивают. Число делится на 6, если делится на 2 и на 3.

Проверим $1332$ на 12. Сумма цифр $9$ делится на 3, а $32:4=8$. Значит, $1332$ делится на 12: $1332:12=111$.

А вот пара 2 и 6 для числа 12 не годится. Число $18$ делится и на 2, и на 6, но на 12 не делится.

Отбрось последнюю цифру и вычти её удвоенную из того, что осталось. Если результат делится на 7, то и число делится на 7. Если результат ещё большой, повтори.

Проверим $2128$:

$212-2\cdot 8=196$

$19-2\cdot 6=7$

7 делится на 7, значит, $2128$ делится на 7: $2128=7\cdot 304$.

Проверим $1234$: $123-8=115$, $11-10=1$. Единица на 7 не делится, значит, и $1234$ не делится.

Иди по цифрам справа налево и ставь знаки по очереди: плюс, минус, плюс, минус. Если результат делится на 11 (подходит и 0), число делится на 11.

Проверим $918082$:

$2-8+0-8+1-9=-22$

$-22$ делится на 11, значит, $918082$ делится на 11: $918082=11\cdot 83462$.

Для трёхзначного числа есть короткий путь: средняя цифра равна сумме крайних. $253$ делится на 11, потому что $2+3=5$. Ещё подходит случай, когда сумма крайних больше средней ровно на 11: $209$, потому что $2+9-0=11$.

• На 4 по последней цифре. $14$ оканчивается на 4, но на 4 не делится. Смотри на две последние цифры.
• На 3 по последней цифре. $13$ оканчивается на 3 и не делится на 3, а $12$ делится. Считай сумму цифр.
• На 12 через 2 и 6. $18$ делится на 2 и на 6, но не на 12. Бери 3 и 4.
• На 8 по двум цифрам. У $316$ хвост $16$ делится на 8, а само число нет: $316:8=39,5$. Нужны три цифры.
• «Делится на 3, значит, и на 9». $12$ делится на 3, но не на 9.
• На 11 по сумме цифр. У $2728$ сумма цифр 19, а число делится на 11. Знаки нужно чередовать.