Проценты

Представь плитку шоколада, которую разломили на 100 одинаковых кусочков. Один такой кусочек — это и есть один процент всей плитки.

Процент — это одна сотая часть целого. Само слово пришло из латыни: pro centum значит «на сто». Пишется знаком %.

Запись $1\%$ означает $\frac{1}{100}$ от чего-то. А все 100 кусочков — это целая плитка:

$100\%=\frac{100}{100}=1\text{ (целое)}$

Перевести проценты в десятичную дробь легко — дели на 100:

$35\%=\frac{35}{100}=0,35$

А обратно — умножай на 100:

$0,07=0,07\cdot 100\%=7\%$

Обыкновенную дробь сначала преврати в десятичную, а потом умножь на 100:

$\frac{3}{4}=0,75=75\%$

Допустим, тебе дают 350 рублей карманных денег, и ты решил отложить $20\%$ в копилку. Сколько это?

Почему это работает? Один процент от числа $a$ — это $\frac{a}{100}$ (сотая часть). А $p$ процентов — это сотая часть, взятая $p$ раз:

$a\cdot \frac{p}{100}$

Считаем копилку:

$350\cdot \frac{20}{100}=350\cdot 0,2=70$

Отложишь 70 рублей.

Хитрость для устного счёта. $10\%$ — это просто число, делённое на 10. $1\%$ — делённое на 100. Из них собирай что угодно, как из конструктора: $15\%=10\%+5\%$, а $5\%$ — это половина от $10\%$.

А теперь задача наоборот. Ты прошёл 6 уровней игры, и это всего $15\%$ от всех уровней. Сколько уровней в игре?

Откуда это берётся? Мы знаем, что $b=a\cdot \frac{p}{100}$. Чтобы вытащить отсюда $a$, делим обе части на $\frac{p}{100}$ — а это то же самое, что умножить на перевёрнутую дробь $\frac{100}{p}$.

Считаем уровни:

$6\cdot \frac{100}{15}=\frac{600}{15}=40$

В игре 40 уровней.

Проверь себя. $15\%$ от 40: $40\cdot \frac{15}{100}=6$ — сходится!

В пачке было 48 конфет, ты съел 12. Какую часть пачки ты уже умял — в процентах?

В чём смысл? Дробь $\frac{b}{a}$ показывает, какая это доля целого. Умножение на 100 переводит долю в проценты.

Считаем конфеты:

$\frac{12}{48}\cdot 100\%=0,25\cdot 100\%=25\%$

Съедена четверть пачки.

Проценты, обыкновенные дроби и десятичные дроби — это три способа сказать одно и то же. Как «привет», «hello» и «салют».

Вот шпаргалка, которую стоит выучить наизусть:

• $50\%=\frac{1}{2}=0,5$ — половина
• $25\%=\frac{1}{4}=0,25$ — четверть
• $75\%=\frac{3}{4}=0,75$ — три четверти
• $20\%=\frac{1}{5}=0,2$ — пятая часть
• $10\%=\frac{1}{10}=0,1$ — десятая часть

Знаешь эти пары — щёлкаешь задачи устно, без столбика. Увидел «найди 25%» — просто дели на 4!

На круговых диаграммах весь круг — это 100%, как целая пицца. Сектор в четверть круга — это 25%, половина круга — 50%, и так далее.