9 класс 4 мин чтения

Метод интервалов: как решать неравенства и расставлять знаки

Q: Метод интервалов: как решать неравенства и расставлять знаки

Метод интервалов решает неравенства вида (x - a)(x - b) > 0. Найди нули множителей, отметь их на числовой прямой, определи знак на каждом промежутке и выбери нужные. Для (x - 1)(x - 4) < 0 нули 1 и 4, между ними выражение отрицательно, поэтому ответ x ∈ (1; 4).

Q: Когда точка закрашенная, а когда выколотая?

В строгом неравенстве ( ) точки выколотые, в нестрогом (≤, ≥) закрашенные. Нули знаменателя выколотые всегда.

Обновлено 6 октября 2026 г. · Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Метод интервалов: как решать неравенства и расставлять знаки

Коротко: Метод интервалов решает неравенства вида

(x - a) (x - b) > 0

. Найди нули множителей, отметь их на числовой прямой, определи знак на каждом промежутке и выбери нужные. Для

(x - 1) (x - 4) < 0

нули 1 и 4, между ними выражение отрицательно, поэтому ответ

x \in (1; 4)

Проверь себя за минуту

3 задания по теме с проверкой и решением. Бесплатно.

Когда нужен метод интервалов

Метод работает, когда справа ноль, а слева произведение или дробь:

$(x - 1) (x - 4) < 0, \frac{x - 2}{x + 3} \leq 0$

Квадратное неравенство сначала раскладывают на множители. Например, $x^{2} - 5 x + 4 < 0$ превращается в $(x - 1) (x - 4) < 0$ : корни трёхчлена 1 и 4.

Идея простая. Выражение может поменять знак только там, где оно равно нулю. Между нулями знак один и тот же, поэтому его хватает проверить в одной точке.

Алгоритм за 5 шагов

Правило.

Перенеси всё влево, чтобы справа остался ноль.
Найди нули каждого множителя, в дроби отдельно числителя и знаменателя.
Отметь нули на прямой. В строгом неравенстве ( $<$ , $>$ ) точки выколотые, в нестрогом ( $\leq$ , $\geq$ ) закрашенные. Нули знаменателя выколоты всегда.
В каждом промежутке возьми любое число и посмотри знак выражения.
Выбери промежутки с нужным знаком и запиши ответ.

Разберём пример

Решим $(x - 1) (x - 4) < 0$ .

Нули: $x = 1$ и $x = 4$ . Неравенство строгое, точки выколотые. Прямая разбилась на три промежутка, проверим знак в каждом:

Промежуток	Проверяем	Знак
$(- \infty; 1)$	$x = 0$ : $(- 1) (- 4) = 4$	$+$
$(1; 4)$	$x = 2$ : $1 \cdot (- 2) = - 2$	$-$
$(4; + \infty)$	$x = 5$ : $4 \cdot 1 = 4$	$+$

Нужен знак «меньше нуля», это средний промежуток. Ответ: $x \in (1; 4)$ .

Реши (x − a)(x − b) и знак 0

a b

x \in (1; 4)

Неравенство:

(x - 1)(x - 4) < 0

Нули множителей: x = 1 и x = 4. Неравенство строгое, точки выколотые.

Берём по числу из каждого промежутка и смотрим знак:

x = 0:\ + \qquad x = 2{,}5:\ - \qquad x = 5:\ +

Нужен знак «минус».

Как расставить знаки быстрее

Правило. Если у каждого множителя перед

x

стоит плюс, то в самом правом промежутке знак «плюс». Дальше знаки чередуются при переходе через каждый нуль.

Решим $(x + 2) (x - 3) (x - 5) > 0$ . Нули: $- 2$ , $3$ , $5$ . Справа налево знаки: $+$ , $-$ , $+$ , $-$ .

$x \in (- 2; 3) \cup (5; + \infty)$

Проверка: при $x = 0$ получаем $2 \cdot (- 3) \cdot (- 5) = 30$ , это плюс, промежуток $(- 2; 3)$ подходит.

Нестрогие неравенства

Если знак $\leq$ или $\geq$ , нули тоже входят в ответ, и скобки у них квадратные.

$(x - 1) (x - 4) \geq 0 \Rightarrow x \in (- \infty; 1] \cup [4; + \infty)$

У бесконечности скобка всегда круглая: до неё нельзя дойти.

Дробные неравенства

Решим $\frac{x - 2}{x + 3} \leq 0$ .

Нуль числителя $x = 2$ . Неравенство нестрогое, точка закрашенная.
Нуль знаменателя $x = - 3$ . На ноль делить нельзя, точка выколотая всегда.

Знак при $x = 0$ : $\frac{- 2}{3} < 0$ , значит, промежуток $(- 3; 2)$ со знаком минус. Справа от 2 плюс, слева от $- 3$ тоже плюс.

$x \in (- 3; 2]$

Минус перед икс и квадрат множителя

Минус перед $x$ . В $(3 - x) (x + 1) > 0$ вынеси минус: $- (x - 3) (x + 1) > 0$ . Умножим на $- 1$ и поменяем знак неравенства: $(x - 3) (x + 1) < 0$ . Ответ $x \in (- 1; 3)$ .

Квадрат множителя. В $(x - 2)^{2} (x + 1) > 0$ при переходе через 2 знак не меняется: квадрат всегда неотрицательный. Решение $x > - 1$ , но $x \neq = 2$ , ведь там выражение равно нулю.

$x \in (- 1; 2) \cup (2; + \infty)$

Частые ошибки

Не поменяли знак неравенства, когда умножили на $- 1$ .
Закрасили нуль знаменателя. На ноль делить нельзя, такая точка всегда выколотая.
Чередовали знаки через квадрат. Через корень чётной степени знак не меняется.
Не перенесли всё в одну часть. Метод работает, только когда справа ноль.
Перепутали скобки. Выколотая точка и бесконечность в круглой скобке, закрашенная точка в квадратной.
Записали ответ без объединения. Два промежутка соединяют знаком $\cup$ .

Частые вопросы

Что такое метод интервалов простыми словами?

Это способ решать неравенства с произведением или дробью. Нули разбивают прямую на промежутки, внутри каждого знак выражения не меняется. Проверяешь знак в одной точке каждого промежутка и выбираешь нужные.

Как расставлять знаки в методе интервалов?

Подставь в выражение любое число из промежутка. Или быстрее: если перед всеми

x

плюс, справа ставь «плюс», а дальше чередуй знаки через каждый нуль.

Когда точка закрашенная, а когда выколотая?

В строгом неравенстве (

<

>

) точки выколотые, в нестрогом (

\leq

\geq

) закрашенные. Нули знаменателя выколотые всегда.

В каком классе проходят метод интервалов?

В 9 классе на алгебре, когда решают квадратные и дробные неравенства. В ОГЭ он нужен в задании 20 и пригодится в задании 13.