9 класс Алгебра 8 мин чтения

Рациональные неравенства

Q: Как решить рациональное неравенство?

Перенести всё в одну часть и привести к виду f(x)/g(x) > 0. Отметить на прямой нули числителя и знаменателя, определить знак на каждом промежутке и выбрать нужные. Нули знаменателя в ответ не входят никогда.

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Решать задания по теме

Коротко: Рациональные неравенства — это неравенства, в которых встречаются дроби с переменной в знаменателе; их решают методом замены на знакочередующиеся промежутки.

Проверь себя · 1 из 3

Найди нуль множителя

2 x + 6

Рациональные неравенства появляются в задачах на скорость, концентрацию раствора и экономические расчёты — везде, где величина стоит в знаменателе. Освоив метод интервалов, ты сможешь решать целый класс задач, недоступных при изучении только линейных неравенств.

метод интервалов: знак меняется при переходе через корень

Содержание 10

Что такое рациональное неравенство

Рациональным неравенством называется неравенство вида $\frac{P ( x )}{Q ( x )} > 0$ , $\frac{P ( x )}{Q ( x )} < 0$ , $\frac{P ( x )}{Q ( x )} \geq 0$ или $\frac{P ( x )}{Q ( x )} \leq 0$ , где $P (x)$ и $Q (x)$ — многочлены, а $Q (x) \neq = 0$ .

Важно: значения $x$ , при которых знаменатель обращается в ноль, обязательно исключаются из ответа, даже если знак неравенства нежёсткий ( $\geq$ или $\leq$ ). Делить на ноль запрещено.

Частный случай — когда $Q (x)$ — константа (не содержит $x$ ): такое неравенство уже не рациональное в строгом смысле, а обычное алгебраическое, и решается проще.

Стандартная форма и перенос в одну сторону

Перед применением метода интервалов неравенство нужно привести к стандартной форме — дробь с нулём в правой части:

$\frac{f ( x )}{g ( x )} > 0 или \frac{f ( x )}{g ( x )} < 0 и т . д .$

Если в исходном неравенстве в правой части стоит не ноль, нужно перенести всё в левую часть и привести к общему знаменателю.

Пример переноса: неравенство $\frac{x + 1}{x - 2} > 3$ преобразуем: $\frac{x + 1}{x - 2} - 3 > 0,$ $\frac{x + 1 - 3 ( x - 2 )}{x - 2} > 0,$ $\frac{x + 1 - 3 x + 6}{x - 2} > 0,$ $\frac{- 2 x + 7}{x - 2} > 0.$

Нельзя умножать обе части неравенства на $x - 2$ , не зная знак этого выражения — знак может быть отрицательным, и тогда неравенство перевернётся. Именно поэтому мы переносим в левую часть.

Метод интервалов (метод знаков)

Метод интервалов — основной инструмент для решения рациональных (и не только) неравенств. Суть: знак рациональной дроби меняется только в нулях числителя и знаменателя.

Алгоритм:

Привести неравенство к стандартной форме: $\frac{f ( x )}{g ( x )} + 0$ .
Разложить $f (x)$ и $g (x)$ на линейные множители (или выделить корни).
Найти все нули числителя и знаменателя — это критические точки.
Отметить критические точки на числовой оси, разбив её на интервалы. Нули знаменателя — только пустыми кружочками (они исключаются из ОДЗ). Нули числителя — закрашенными кружочками при $\geq$ или $\leq$ , пустыми — при $>$ или $<$ .
Определить знак дроби на крайнем правом интервале (подставить удобное большое $x$ ). Затем, двигаясь влево, менять знак при каждом переходе через критическую точку кратности 1. При кратности 2 — знак не меняется.
Выписать интервалы с нужным знаком как ответ.

Знак дроби — это знак произведения: $sign (\frac{f}{g}) = sign (f) \cdot sign (g)$ . Поэтому знак меняется, когда множитель с нечётной кратностью переходит через ноль.

Кратность корня и поведение знака

Если критическая точка $x_{0}$ является корнем чётной кратности одного из множителей, знак выражения при переходе через $x_{0}$ не изменяется. Если кратность нечётная — знак меняется.

Пример: выражение $\frac{( x - 1 ) ^{2} ( x + 3 )}{x - 5}$ имеет критические точки $x = 1$ (кратность 2 в числителе), $x = - 3$ (кратность 1) и $x = 5$ (знаменатель, кратность 1).

При переходе через $x = 1$ : знак не меняется (чётная кратность).
При переходе через $x = - 3$ и $x = 5$ : знак меняется.

Это правило не меняет общей схемы, только нужно аккуратно учитывать кратность при расстановке знаков.

Особые случаи: ОДЗ и включение граничных точек

Область допустимых значений (ОДЗ) рационального неравенства — все $x$ , при которых знаменатель не равен нулю. Точки ОДЗ определяются из условия $Q (x) \neq = 0$ и вычёркиваются из ответа всегда, независимо от знака неравенства.

Граничные точки числителя:

При строгих неравенствах ( $>$ , $<$ ): нули числителя не включаются в ответ.
При нестрогих неравенствах ( $\geq$ , $\leq$ ): нули числителя включаются в ответ (там дробь равна нулю, условие выполняется).

Итого — правило включения точек:

Точка	Знак $<$ или $>$	Знак $\leq$ или $\geq$
Нуль числителя	исключить	включить
Нуль знаменателя	исключить	исключить

Ответ записывают в виде объединения промежутков, используя скобки: круглая скобка — точка не входит, квадратная — входит.

Ключевые формулы

\frac{f ( x )}{g ( x )} > 0 (или < 0, \geq 0, \leq 0)

Стандартная форма рационального неравенства

sign (\frac{f}{g}) = sign (f) \cdot sign (g)

Знак дроби через знаки числителя и знаменателя

g (x) \neq = 0

ОДЗ: знаменатель не равен нулю

\frac{f ( x )}{g ( x )} > h (x) ⟹ \frac{f ( x ) - h ( x ) \cdot g ( x )}{g ( x )} > 0

Перенос правой части на левую (шаблон)

Запомни

Нули знаменателя исключаются из ответа всегда — даже при нестрогом знаке неравенства.
Перед методом интервалов приведи неравенство к стандартной форме: правая часть равна нулю.
Нельзя умножать неравенство на выражение с переменной, не зная его знак.
При чётной кратности корня знак дроби через эту точку не меняется.
Ответ — объединение промежутков; нули числителя включаются при $\geq$ или $\leq$ , но не при $>$ или $<$ .

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Решить неравенство

\frac{x - 3}{x + 1} < 0

Неравенство уже в стандартной форме. Находим критические точки: числитель $x - 3 = 0$ при $x = 3$ ; знаменатель $x + 1 = 0$ при $x = - 1$ .
Отмечаем точки $- 1$ и $3$ на числовой оси. Точка $x = - 1$ — пустой кружок (исключена из ОДЗ). Точка $x = 3$ — тоже пустой кружок (строгое неравенство).
Определяем знак на интервале $(3; + \infty)$ : возьмём $x = 4$ , тогда $\frac{4 - 3}{4 + 1} = \frac{1}{5} > 0$ . Знак « $+$ ».
Двигаясь влево, меняем знак при $x = 3$ : на интервале $(- 1; 3)$ знак « $-$ ».
Меняем знак при $x = - 1$ : на интервале $(- \infty; - 1)$ знак « $+$ ».
Нужен знак « $-$ », то есть интервал $(- 1; 3)$ .

Ответ:

x \in (- 1; 3)

Пример 2

Решить неравенство

\frac{2 x - 4}{x ^{2} - 9} \geq 0

Разложим: числитель $2 x - 4 = 2 (x - 2)$ , знаменатель $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ .
Критические точки: $x = 2$ (числитель, кратность 1), $x = 3$ и $x = - 3$ (знаменатель, кратность 1).
Расставляем на оси: $- 3, 2, 3$ . Точки $x = \pm 3$ — пустые кружки (знаменатель). Точка $x = 2$ — закрашенный кружок (нестрогое неравенство).
Знак на $(3; + \infty)$ : возьмём $x = 4$ : $\frac{2 \cdot 4 - 4}{( 4 - 3 ) ( 4 + 3 )} = \frac{4}{7} > 0$ . Знак « $+$ ».
На $(2; 3)$ : меняем знак через $x = 3$ , получаем « $-$ ».
На $(- 3; 2)$ : меняем знак через $x = 2$ , получаем « $+$ ».
На $(- \infty; - 3)$ : меняем знак через $x = - 3$ , получаем « $-$ ».
Нужен знак « $+$ » или равенство нулю: берём интервалы $(- 3; 2]$ и $(3; + \infty)$ , включая $x = 2$ .

Ответ:

x \in (- 3; 2] \cup (3; + \infty)

Пример 3

Решить неравенство

\frac{x + 2}{x - 1} > 2

Подсказка: Ключевой шаг — перенести «

2

» влево и привести к общему знаменателю, а не умножать обе части на

(x - 1)

Переносим правую часть влево: $\frac{x + 2}{x - 1} - 2 > 0$ .
Приводим к общему знаменателю: $\frac{x + 2 - 2 ( x - 1 )}{x - 1} > 0$ .
Упрощаем числитель: $x + 2 - 2 x + 2 = - x + 4$ . Получаем $\frac{- x + 4}{x - 1} > 0$ .
Критические точки: $- x + 4 = 0$ при $x = 4$ ; $x - 1 = 0$ при $x = 1$ . Обе точки — пустые кружки.
Знак на $(4; + \infty)$ : возьмём $x = 5$ : $\frac{- 5 + 4}{5 - 1} = \frac{- 1}{4} < 0$ . Знак « $-$ ».
На $(1; 4)$ : меняем знак через $x = 4$ , получаем « $+$ ».
На $(- \infty; 1)$ : меняем знак через $x = 1$ , получаем « $-$ ».
Нужен знак « $+$ »: интервал $(1; 4)$ .

Ответ:

x \in (1; 4)

Пример 4

Решить неравенство

\frac{( x - 1 ) ^{2} ( x + 2 )}{x ( x - 3 )} \leq 0

Критические точки: $x = 1$ (числитель, кратность 2), $x = - 2$ (числитель, кратность 1), $x = 0$ и $x = 3$ (знаменатель, кратность 1).
Расставляем на оси: $- 2, 0, 1, 3$ . Точки $x = 0$ и $x = 3$ — пустые кружки. Точки $x = - 2$ и $x = 1$ — закрашенные (нестрогое неравенство).
Знак на $(3; + \infty)$ : возьмём $x = 4$ : числитель $(3)^{2} \cdot 6 > 0$ , знаменатель $4 \cdot 1 > 0$ , дробь « $+$ ».
Через $x = 3$ (кратность 1): меняем знак — на $(1; 3)$ знак « $-$ ».
Через $x = 1$ (кратность 2): знак не меняется — на $(0; 1)$ тоже « $-$ ».
Через $x = 0$ (кратность 1): меняем знак — на $(- 2; 0)$ знак « $+$ ».
Через $x = - 2$ (кратность 1): меняем знак — на $(- \infty; - 2)$ знак « $-$ ».
Нужен знак « $-$ » или ноль. Берём: $(- \infty; - 2]$ , $(0; 1]$ , $(1; 3)$ , то есть $(- \infty; - 2] \cup (0; 3)$ , не забывая включить $x = - 2$ и $x = 1$ .
Объединяем промежутки: $(- \infty; - 2]$ и $(0; 1] \cup (1; 3)$ . Поскольку $(0; 1]$ и $(1; 3)$ — соседние промежутки с одинаковым знаком и $x = 1$ включена, объединяем в $(0; 3)$ , исключая $x = 0$ и $x = 3$ , включая $x = 1$ : $(0; 3) ∖ \emptyset$ , то есть $(0; 3)$ без $x = 0$ и $x = 3$ — уже учтено.

Ответ:

x \in (- \infty; - 2] \cup (0; 3)

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Умножают обе части неравенства на знаменатель, не рассматривая случай его знака — знак неравенства может перевернуться.
Забывают исключить нули знаменателя из ответа при нестрогом неравенстве ( $\geq$ , $\leq$ ).
При переносе слагаемого в левую часть не приводят к общему знаменателю, а просто переставляют слагаемые.
Не учитывают кратность корня и всегда меняют знак при переходе через каждую критическую точку.

Частые вопросы

Что такое рациональное неравенство?

Неравенство, обе части которого рациональные выражения, например

\frac{x - 3}{x + 1} < 0

. Переменная может стоять и в знаменателе.

Как решить рациональное неравенство?

Перенести всё в одну часть и привести к виду

\frac{f ( x )}{g ( x )} > 0

. Отметить на прямой нули числителя и знаменателя, определить знак на каждом промежутке и выбрать нужные. Нули знаменателя в ответ не входят никогда.

Можно ли умножить рациональное неравенство на знаменатель?

Нельзя, пока знак знаменателя неизвестен: при отрицательном знаменателе знак неравенства должен поменяться. Поэтому дробь оставляют и решают методом интервалов.