Решение квадратных неравенств: задания с ответами, 9 класс

0 из 10

Решение квадратных неравенств

…

Примеры заданий с ответами

1Является ли

x = 3

решением неравенства

x^{2} - 5 x + 4 > 0

? (да/нет)

Подставим $x = 3$ в левую часть: $3^{2} - 5 \cdot 3 + 4 = 9 - 15 + 4 = - 2$ .
Проверяем неравенство: $- 2 > 0$ — неверно, значит $x = 3$ не является решением.
Ответ: нет.

x^{2} - 5 x + 6 > 0

. Реши неравенство.

Находим корни трёхчлена $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ : по теореме Виета это $x = 2$ и $x = 3$ .
Ветви параболы направлены вверх, поэтому $x^{2} - 5 x + 6 > 0$ вне корней.
Значит решение — промежутки слева от $2$ и справа от $3$ .
Ответ: $x < 2$ или $x > 3$ .

3Составь квадратное неравенство вида

x^{2} + p x + q \leq 0

, решением которого является отрезок

[- 1; 4]

Отрезок $[- 1; 4]$ означает корни $- 1$ и $4$ и знак $\leq 0$ (решение между корнями).
Трёхчлен с такими корнями: $(x + 1) (x - 4) = x^{2} - 3 x - 4$ .
Нужен знак $\leq 0$ , значит $x^{2} - 3 x - 4 \leq 0$ .
Ответ: $x^{2} - 3 x - 4 \leq 0$ .

4При каком наименьшем целом

a

неравенство

x^{2} + 4 x + a > 0

верно при всех

x

Парабола $y = x^{2} + 4 x + a$ ветвями вверх; она лежит выше оси при всех $x$ , когда у неё нет корней, то есть $D < 0$ .
Считаем $D = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot a = 16 - 4 a$ и решаем $16 - 4 a < 0 \Rightarrow a > 4$ .
Наименьшее целое число, большее $4$ , — это $5$ .
Ответ: $a = 5$ .

5При каких

a

неравенство

x^{2} - 2 a x + a + 6 \leq 0

имеет хотя бы одно решение?

Парабола $y = x^{2} - 2 a x + a + 6$ ветвями вверх принимает значения $\leq 0$ хотя бы в одной точке, когда у неё есть корни, то есть $D \geq 0$ .
Считаем $D = (2 a)^{2} - 4 (a + 6) = 4 a^{2} - 4 a - 24$ и требуем $4 a^{2} - 4 a - 24 \geq 0$ , то есть $a^{2} - a - 6 \geq 0$ .
Раскладываем: $(a - 3) (a + 2) \geq 0$ , откуда $a \leq - 2$ или $a \geq 3$ .
Ответ: $a \leq - 2$ или $a \geq 3$ .

6При каких

a

система

{x^{2} - 9 \leq 0 x^{2} - 2 a x + a^{2} \leq 1

имеет хотя бы одно решение? (запиши промежуток для

a

)

Первое неравенство $x^{2} - 9 \leq 0$ даёт $x \in [- 3; 3]$ .
Второе $x^{2} - 2 a x + a^{2} \leq 1$ — это $(x - a)^{2} \leq 1$ , то есть $x \in [a - 1; a + 1]$ .
Система имеет решение, когда отрезки пересекаются: $a - 1 \leq 3$ и $a + 1 \geq - 3$ , значит $- 4 \leq a \leq 4$ .
Ответ: $[- 4; 4]$ .