9 класс Алгебра 8 мин чтения

Системы неравенств с одной переменной

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Система неравенств с одной переменной — это несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно; решением является пересечение их множеств решений.

Проверь себя · 1 из 3

Какая система задаёт промежуток

[- 2; 5)

Представь: тебе нужно купить товар дешевле 500 рублей, но дороже 100 рублей — сразу два условия на одну цену. Именно так работают системы неравенств: несколько ограничений на одну и ту же переменную действуют одновременно.

решение системы — пересечение решений: a < x ≤ b

Содержание 9

Что такое система неравенств

Система неравенств с одной переменной — это два или более неравенств, объединённых фигурной скобкой, в которых фигурирует одна и та же переменная и все неравенства должны выполняться одновременно.

Запись выглядит так: ${f (x) > 0 g (x) \leq 0$

Решением системы называется любое значение переменной, которое является решением каждого из неравенств системы.

Решить систему — значит найти все такие значения, то есть найти пересечение множеств решений всех неравенств системы.

Если $A$ — множество решений первого неравенства, а $B$ — множество решений второго, то решение системы: $A \cap B$ .

Алгоритм решения системы двух неравенств

Чтобы решить систему двух линейных неравенств с одной переменной, следуй четырём шагам:

Реши каждое неравенство отдельно и запиши ответ в виде числового промежутка.
Изобрази оба промежутка на одной числовой прямой: один над другой (или разными цветами).
Найди пересечение — часть прямой, закрашенную в обоих промежутках одновременно.
Запиши ответ: если пересечение непусто — укажи промежуток; если пусто — «нет решений».

Почему именно пересечение? Фигурная скобка означает «И» (оба условия сразу). Значение $x$ подходит, только если оно удовлетворяет первому неравенству и второму неравенству.

Виды промежутков и запись ответа

Каждое линейное неравенство задаёт один из четырёх видов промежутков:

Неравенство	Промежуток	Запись
$x > a$	открытый луч	$(a; + \infty)$
$x \geq a$	замкнутый луч	$[a; + \infty)$
$x < a$	открытый луч	$(- \infty; a)$
$x \leq a$	замкнутый луч	$(- \infty; a]$

На числовой прямой: закрашенная точка — граница включена ( $\leq$ , $\geq$ ), открытая точка (кружок) — граница не включена ( $<$ , $>$ ).

Если оба неравенства дают конечный промежуток вида $a < x < b$ (или с $\leq$ ), это называют двойным неравенством: $a < x < b$ .

Три возможных случая при пересечении

При нахождении пересечения двух промежутков возможны ровно три ситуации:

Случай 1. Непустое пересечение — промежутки перекрываются. Ответ: найденный промежуток.

Пример: $x > 1$ и $x < 5$ дают $1 < x < 5$ , то есть $(1; 5)$ .

Случай 2. Одна точка — промежутки касаются в одной точке, причём оба включают её (оба знака с чертой $\leq$ или $\geq$ ).

Пример: $x \leq 3$ и $x \geq 3$ дают $x = 3$ .

Случай 3. Пустое пересечение — промежутки не перекрываются. Решений нет.

Пример: $x > 5$ и $x < 2$ — нет ни одного числа, которое больше 5 и одновременно меньше 2.

Важно: не путай пересечение промежутков с объединением. Система — это «И», а не «ИЛИ».

Системы с тремя и более неравенствами

Если в системе три неравенства, алгоритм тот же: решаем каждое, находим пересечение всех трёх промежутков сразу.

Удобнее всего нанести все три промежутка на одну числовую прямую и выделить область, покрытую всеми тремя.

Пример системы: $⎩ ⎨ ⎧ x > - 2 x < 6 x \leq 4$ Первые два дают $- 2 < x < 6$ , пересекаем с $x \leq 4$ : итог $- 2 < x \leq 4$ .

Практический приём: при трёх неравенствах сначала пересеки первые два, потом результат пересеки с третьим — это проще, чем думать обо всех сразу.

Ключевые формулы

x \in A \cap B

Решение системы — пересечение множеств решений

a < x < b

Двойное неравенство (оба ограничения сразу)

a \leq x \leq b

Двойное неравенство с включением границ

Запомни

Фигурная скобка означает «И»: все неравенства системы должны выполняться одновременно.
Решение системы — это пересечение ( $\cap$ ) множеств решений каждого неравенства, а не объединение.
Закрашенная точка на числовой прямой — граница включена; пустой кружок — граница не включена.
Если пересечение пусто — система не имеет решений, и это нормальный математический ответ.
Решай каждое неравенство независимо, затем совмещай на одной числовой прямой.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Реши систему:

{x + 3 > 5 x - 1 < 4

Решаем первое неравенство: $x + 3 > 5$ равносильно $x > 2$ , промежуток $(2; + \infty)$ .
Решаем второе неравенство: $x - 1 < 4$ равносильно $x < 5$ , промежуток $(- \infty; 5)$ .
Находим пересечение: числа, которые больше 2 и одновременно меньше 5, образуют промежуток $(2; 5)$ .
На числовой прямой: открытый кружок в точке 2, открытый кружок в точке 5, закрашен отрезок между ними.

Ответ:

2 < x < 5

, то есть

x \in (2; 5)

Пример 2

Реши систему:

{2 x - 1 \geq 3 3 x + 2 \leq 14

Подсказка: Оба знака с чертой (

\geq

\leq

) — обе границы включены, ставь закрашенные точки.

Решаем первое неравенство: $2 x - 1 \geq 3$ , прибавляем 1 к обеим частям: $2 x \geq 4$ , делим на 2: $x \geq 2$ , промежуток $[2; + \infty)$ .
Решаем второе неравенство: $3 x + 2 \leq 14$ , вычитаем 2: $3 x \leq 12$ , делим на 3: $x \leq 4$ , промежуток $(- \infty; 4]$ .
Находим пересечение $[2; + \infty) \cap (- \infty; 4]$ : общая часть — числа от 2 до 4 включительно.
На числовой прямой: закрашенные точки в 2 и в 4, закрашен отрезок между ними.

Ответ:

2 \leq x \leq 4

, то есть

x \in [2; 4]

Пример 3

Реши систему:

{5 x + 3 > 18 2 x - 7 > - 1

Решаем первое неравенство: $5 x + 3 > 18$ , вычитаем 3: $5 x > 15$ , делим на 5: $x > 3$ , промежуток $(3; + \infty)$ .
Решаем второе неравенство: $2 x - 7 > - 1$ , прибавляем 7: $2 x > 6$ , делим на 2: $x > 3$ , промежуток $(3; + \infty)$ .
Пересечение $(3; + \infty) \cap (3; + \infty)$ : оба промежутка одинаковы, пересечение равно им самим.

Ответ:

x > 3

, то есть

x \in (3; + \infty)

Пример 4

Реши систему:

{3 (x - 2) \leq 2 x + 1 - 4 x + 5 < - 3

Подсказка: При делении на отрицательное число знак неравенства меняется — это главная ловушка задачи.

Решаем первое неравенство: раскрываем скобки $3 x - 6 \leq 2 x + 1$ , переносим слагаемые: $3 x - 2 x \leq 1 + 6$ , получаем $x \leq 7$ , промежуток $(- \infty; 7]$ .
Решаем второе неравенство: $- 4 x + 5 < - 3$ , вычитаем 5: $- 4 x < - 8$ . Делим на $- 4$ и меняем знак неравенства: $x > 2$ , промежуток $(2; + \infty)$ .
Находим пересечение $(- \infty; 7] \cap (2; + \infty)$ : общая часть — числа больше 2 и не больше 7.
На числовой прямой: открытый кружок в точке 2 (строгое неравенство), закрашенная точка в точке 7.

Ответ:

2 < x \leq 7

, то есть

x \in (2; 7]

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают пересечение и объединение промежутков: берут ВСЕ числа из обоих промежутков вместо только общих.
Забывают про знак неравенства при умножении (делении) на отрицательное число: направление знака нужно менять на противоположное.
Неверно ставят тип точки: при строгом неравенстве ( $<$ или $>$ ) рисуют закрашенную точку вместо кружка.
Считают, что система без решений — это ошибка. Пустое пересечение — корректный ответ «нет решений».