9 класс Алгебра 10 мин чтения

Решение квадратных неравенств

Q: Как решается квадратное неравенство?

Найти корни трёхчлена ax² + bx + c, отметить их на оси и схематично нарисовать параболу. При a > 0 ветви вверх: трёхчлен положителен снаружи корней и отрицателен между ними.

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Решать задания по теме

Коротко: Квадратное неравенство — это неравенство вида ax² + bx + c > 0 (или с другим знаком), решить которое значит найти все значения x, при которых оно выполняется.

Проверь себя · 1 из 3

Найди наименьшее целое решение неравенства

x^{2} \geq 16

Квадратные неравенства встречаются везде, где нужно учесть ограничения: при каких скоростях тормозной путь не превысит допустимый, при каком радиусе площадь фигуры будет больше нормы. Умея решать такие неравенства, ты научишься описывать целые области допустимых значений, а не просто одну точку.

между корнями знак трёхчлена противоположен знаку a

Как решить квадратное неравенство: алгоритм

Перенеси всё в левую часть, чтобы справа остался $0$ .
Реши уравнение $a x^{2} + b x + c = 0$ : найди $D = b^{2} - 4 a c$ и корни. Если $D < 0$ , корней нет.
Нарисуй эскиз параболы: при $a > 0$ ветви вверх, при $a < 0$ вниз. Отметь корни на оси $O x$ .
Для знака $>$ бери промежутки, где парабола выше оси, для знака $<$ те, где ниже.
При $\geq$ и $\leq$ корни входят в ответ, при $>$ и $<$ не входят.

Пример. $x^{2} - 5 x + 6 < 0$ : корни $2$ и $3$ , ветви вверх, парабола ниже оси между корнями. Ответ: $x \in (2; 3)$ .

Содержание 11

Что такое квадратное неравенство

Квадратное неравенство — это неравенство вида $a x^{2} + b x + c > 0$ , $a x^{2} + b x + c \geq 0$ , $a x^{2} + b x + c < 0$ или $a x^{2} + b x + c \leq 0$ , где $a \neq = 0$ .

Числа $a$ , $b$ , $c$ — коэффициенты; $x$ — переменная. Левая часть — это в точности квадратный трёхчлен. Отличие от квадратного уравнения в том, что вместо знака равенства стоит знак неравенства.

Решение неравенства — это множество всех значений $x$ , при которых неравенство обращается в верное числовое высказывание. Ответ, как правило, — промежуток или объединение промежутков числовой прямой.

Парабола как инструмент решения

Ключевая идея: рассмотрим функцию $y = a x^{2} + b x + c$ . Её график — парабола. Знак неравенства указывает, где именно эта парабола расположена относительно оси $O x$ :

$a x^{2} + b x + c > 0$ — ищем $x$ , при которых парабола выше оси $O x$ (т.е. $y > 0$ ).
$a x^{2} + b x + c < 0$ — ищем $x$ , при которых парабола ниже оси $O x$ (т.е. $y < 0$ ).

Ветви параболы направлены вверх, если $a > 0$ , и вниз, если $a < 0$ . Это принципиально важно: именно от знака $a$ зависит, какие промежутки окажутся ответом.

Корни квадратного трёхчлена $x_{1}$ и $x_{2}$ (если они существуют) — это точки пересечения параболы с осью $O x$ . Они делят числовую прямую на промежутки, внутри которых знак $y$ постоянен.

Алгоритм решения через дискриминант

Шаг 1. Привести неравенство к стандартному виду: все члены перенести в одну сторону, чтобы в правой части стояло $0$ .

Шаг 2. Найти дискриминант: $D = b^{2} - 4 a c$ .

Шаг 3. Определить корни (если они есть):

Если $D > 0$ : два корня $x_{1} = \frac{- b - D}{2 a}$ и $x_{2} = \frac{- b + D}{2 a}$ , причём $x_{1} < x_{2}$ .
Если $D = 0$ : один корень $x_{0} = \frac{- b}{2 a}$ (вершина параболы лежит на оси $O x$ ).
Если $D < 0$ : вещественных корней нет, парабола целиком выше или ниже оси $O x$ .

Шаг 4. Нарисовать эскиз параболы (ветви вверх или вниз) и отметить корни на числовой прямой.

Шаг 5. По рисунку выбрать промежутки, на которых выполняется условие неравенства (выше или ниже оси $O x$ ). Включать ли граничные точки — зависит от знака неравенства ( $\geq$ и $\leq$ включают, $>$ и $<$ — нет).

Таблица ответов: все основные случаи

Предположим $D > 0$ , $x_{1} < x_{2}$ .

Ветви вверх, $a > 0$ :

Неравенство	Ответ
$> 0$	$x < x_{1}$ или $x > x_{2}$
$\geq 0$	$x \leq x_{1}$ или $x \geq x_{2}$
$< 0$	$x_{1} < x < x_{2}$
$\leq 0$	$x_{1} \leq x \leq x_{2}$

Ветви вниз, $a < 0$ :

Неравенство	Ответ
$> 0$	$x_{1} < x < x_{2}$
$\geq 0$	$x_{1} \leq x \leq x_{2}$
$< 0$	$x < x_{1}$ или $x > x_{2}$
$\leq 0$	$x \leq x_{1}$ или $x \geq x_{2}$

Особые случаи:

$D = 0$ , $a > 0$ , неравенство $\geq 0$ : ответ — все $x \in R$ (т.е. $x$ — любое число).
$D = 0$ , $a > 0$ , неравенство $> 0$ : ответ — все $x \in R$ , кроме $x_{0}$ .
$D = 0$ , $a > 0$ , неравенство $< 0$ : решений нет.
$D < 0$ , $a > 0$ : трёхчлен всегда положителен, неравенство $> 0$ выполняется при всех $x$ ; неравенство $< 0$ — решений нет.
$D < 0$ , $a < 0$ : трёхчлен всегда отрицателен — симметрично.

Метод интервалов (альтернативный способ)

Метод интервалов — удобная техника, особенно когда трёхчлен легко раскладывается на множители.

Шаг 1. Решить уравнение $a x^{2} + b x + c = 0$ и найти корни $x_{1} < x_{2}$ .

Шаг 2. Представить трёхчлен в виде $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Шаг 3. Отметить $x_{1}$ и $x_{2}$ на числовой прямой. Они разбивают её на три промежутка: $(- \infty; x_{1})$ , $(x_{1}; x_{2})$ , $(x_{2}; + \infty)$ .

Шаг 4. Определить знак выражения на каждом промежутке. Удобно взять любое пробное значение внутри промежутка и подставить.

Шаг 5. Выбрать промежутки, на которых знак совпадает с требуемым, и записать ответ.

Замечание о знаках: при переходе через корень знак выражения $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ меняется на противоположный (так как ровно один множитель меняет знак). Поэтому знаки чередуются: $+$ , $-$ , $+$ или $-$ , $+$ , $-$ — в зависимости от знака $a$ и от самого правого промежутка.

Ключевые формулы

D = b^{2} - 4 a c

Дискриминант квадратного трёхчлена

x_{1} = \frac{- b - D}{2 a}

Корни при D > 0 (меньший корень)

x_{2} = \frac{- b + D}{2 a}

Корни при D > 0 (больший корень)

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

Разложение трёхчлена на множители (при D ≥ 0)

Запомни

Знак старшего коэффициента $a$ определяет направление ветвей параболы и, значит, форму ответа.
Если $D > 0$ : два корня, три промежутка, знак чередуется. Если $D = 0$ : один корень (двукратный), парабола касается оси. Если $D < 0$ : корней нет, трёхчлен знакопостоянен.
Строгое неравенство ( $>$ или $<$ ) — граничные точки в ответ не входят; нестрогое ( $\geq$ или $\leq$ ) — входят.
Перед применением алгоритма убедись, что правая часть равна нулю — перенеси все члены в левую часть.
При $a < 0$ знаки на промежутках «зеркальны» по сравнению с $a > 0$ : начинают не с $+$ , а с $-$ .

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Решить неравенство

x^{2} - 5 x + 6 < 0

Находим дискриминант: $D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0$ .
Находим корни: $x_{1} = \frac{5 - 1}{2} = 2$ , $x_{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3$ .
Коэффициент $a = 1 > 0$ , ветви параболы направлены вверх. Парабола ниже оси $O x$ между корнями.
Неравенство $< 0$ выполняется там, где парабола ниже оси: $2 < x < 3$ .

Ответ:

x \in (2; 3)

Пример 2

Решить неравенство

x^{2} - 4 x + 4 \geq 0

Вычисляем дискриминант: $D = (- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$ .
Единственный корень: $x_{0} = \frac{4}{2} = 2$ .
Так как $a = 1 > 0$ , парабола направлена вверх и лишь касается оси $O x$ в точке $x = 2$ . При всех остальных $x$ выполняется $y > 0$ .
Нестрогое неравенство $\geq 0$ выполняется при всех $x$ , включая $x = 2$ .

Ответ:

x \in R

(все вещественные числа)

Пример 3

Решить неравенство

- x^{2} + x + 6 > 0

Подсказка: При

a < 0

парабола «горбом» вверх: выше оси

O x

— именно между корнями.

Коэффициент $a = - 1 < 0$ , ветви параболы направлены вниз.
Вычисляем дискриминант: $D = 1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6 = 1 + 24 = 25 > 0$ .
Находим корни: $x_{1} = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot ( - 1 )} = \frac{- 6}{- 2} = 3$ , $x_{2} = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot ( - 1 )} = \frac{4}{- 2} = - 2$ .
Упорядочиваем: $x_{1} = - 2 < x_{2} = 3$ .
Парабола с ветвями вниз расположена выше оси $O x$ между корнями. Неравенство $> 0$ выполняется при $- 2 < x < 3$ .

Ответ:

x \in (- 2; 3)

Пример 4

Решить неравенство

2 x^{2} - 3 x - 5 \geq 0

методом интервалов.

Решаем уравнение $2 x^{2} - 3 x - 5 = 0$ . Дискриминант: $D = 9 + 40 = 49$ .
Корни: $x_{1} = \frac{3 - 7}{4} = - 1$ , $x_{2} = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2, 5$ .
Разбиваем числовую прямую на промежутки: $(- \infty; - 1)$ , $(- 1; 2, 5)$ , $(2, 5; + \infty)$ .
Проверяем знак на каждом промежутке (берём пробные точки $x = - 2$ , $x = 0$ , $x = 3$ ): при $x = - 2$ : $2 \cdot 4 - 3 \cdot (- 2) - 5 = 8 + 6 - 5 = 9 > 0$ ; при $x = 0$ : $0 - 0 - 5 = - 5 < 0$ ; при $x = 3$ : $18 - 9 - 5 = 4 > 0$ .
Знаки: $+$ , $-$ , $+$ . Нестрогое неравенство $\geq 0$ выполняется на первом и третьем промежутках, включая граничные точки.

Ответ:

x \in (- \infty; - 1] \cup [2, 5; + \infty)

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Забывают проверить знак $a$ : при $a < 0$ ветви смотрят вниз, и ответ получается «наоборот» по сравнению с $a > 0$ .
Включают или исключают граничные точки неверно: при строгом неравенстве корни не включаются, при нестрогом — включаются.
Не переносят все члены в одну сторону перед вычислением дискриминанта, из-за чего $D$ считается неверно.
При $D < 0$ пишут «решений нет» для любого знака неравенства, хотя если $a > 0$ и стоит $> 0$ — решением является всё $R$ .

Частые вопросы

Как решается квадратное неравенство?

Найти корни трёхчлена

a x^{2} + b x + c

, отметить их на оси и схематично нарисовать параболу. При

a > 0

ветви вверх: трёхчлен положителен снаружи корней и отрицателен между ними.

Что делать, если дискриминант отрицательный?

Парабола не пересекает ось, и знак трёхчлена везде совпадает со знаком

a

. Тогда неравенство либо выполняется при всех

x

, либо не имеет решений.