5 класс Математика 9 мин чтения

Сложение и вычитание смешанных чисел

Q: Как складывать смешанные числа?

Отдельно сложить целые части и дробные: 21/5 + 13/5 = 34/5. Если дробь получилась неправильной, выдели из неё целую часть.

Q: Как вычесть смешанное число, если дробь меньше?

Занять единицу у целой части: 41/5 = 36/5. Тогда 41/5 - 13/5 = 36/5 - 13/5 = 23/5.

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Решать задания по теме

Коротко: Смешанные числа складывают по частям: целую часть с целой, дробную с дробной:

2 \frac{3}{7} + 1 \frac{2}{7} = 3 \frac{5}{7}

. Если дробная часть вышла неправильной, выдели из неё целое:

3 \frac{7}{5} = 4 \frac{2}{5}

. При вычитании, когда дробной части не хватает, займи единицу у целой части:

5 \frac{1}{4} - 2 \frac{3}{4} = 4 \frac{5}{4} - 2 \frac{3}{4} = 2 \frac{2}{4} = 2 \frac{1}{2}

. В ответе дробная часть должна быть правильной и несократимой.

Проверь себя · 1 из 3

3 \frac{5}{7} + 8 \frac{1}{7} = ?

Представь: ты съел $2 \frac{1}{2}$ куска пиццы, а твой друг — $1 \frac{1}{4}$ . Сколько вы съели вместе? Чтобы это посчитать, нужны смешанные числа — числа вроде $2 \frac{1}{2}$ , где есть и целая часть, и дробная. Они повсюду: в рецептах ( $2 \frac{1}{2}$ стакана муки), на стройке (доска длиной $3 \frac{3}{4}$ метра), даже в кино (фильм идёт $1 \frac{1}{2}$ часа). В этой теме ты научишься легко складывать и вычитать такие числа.

Содержание 10

Что такое смешанное число

Возьмём $3 \frac{2}{5}$ пиццы. Это $3$ целые пиццы и ещё $\frac{2}{5}$ — два кусочка из пяти. То есть целое число и дробь вместе.

Смешанное число — это сумма целой части и правильной дроби: $a \frac{m}{n} = a + \frac{m}{n}$ Здесь $a$ — целая часть, $m$ — числитель дроби (сколько кусочков взяли), $n$ — знаменатель (на сколько кусочков разрезали целое). Дробь правильная, значит $m < n$ — кусочков меньше, чем целая пицца.

Важно:

3 \frac{2}{5}

— это

3 + \frac{2}{5}

, а не

3

умножить на

\frac{2}{5}

! Запомни это — без плюса в голове дальше никак.

Как превратить смешанное число в неправильную дробь? Иногда это удобно для счёта. Целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель: $a \frac{m}{n} = \frac{a \cdot n + m}{n}$ Например: $3 \frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{17}{5}$ . Логика простая: в $3$ целых пиццах $15$ кусочков по $\frac{1}{5}$ , плюс ещё $2$ кусочка — всего $17$ .

А обратно? Делим с остатком. Числитель делим на знаменатель: целое от деления — это целая часть, остаток — числитель дроби. Например, $\frac{17}{5}$ : делим $17 \div 5 = 3$ (остаток $2$ ), значит $\frac{17}{5} = 3 \frac{2}{5}$ .

Сложение смешанных чисел

Хитрость простая: целое — к целому, дробь — к дроби. Как складывать деньги: рубли с рублями, копейки с копейками.

Правило сложения:

Если знаменатели дробных частей разные — приведи дроби к общему знаменателю.
Сложи целые части между собой.
Сложи дробные части между собой.
Если дробная часть получилась неправильной (числитель больше или равен знаменателю) — выдели из неё целое и прибавь к целой части.

Смотри, как это работает: $2 \frac{1}{4} + 1 \frac{3}{4}$ Целые: $2 + 1 = 3$ . Дроби: $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$ . Получилась целая единица! Прибавляем её: $3 + 1 = 4$ . Ответ: $4$ .

Запасной способ: можно перевести оба числа в неправильные дроби, сложить их как обычные дроби и перевести ответ назад. Это удобно, когда числа маленькие. Но если целые части большие (например, $25 \frac{1}{3}$ ), лучше складывать по частям — меньше вычислений, меньше ошибок.

Вычитание смешанных чисел

Вычитаем так же — по частям: целое из целого, дробь из дроби.

Правило вычитания:

Приведи дробные части к общему знаменателю.
Вычти отдельно целые части и отдельно дробные.
Если дробная часть первого числа меньше дробной части второго — займи единицу у целой части.

Что значит «занять единицу»? Представь: у тебя $5$ целых шоколадок и $1$ долька, а отдать надо $4$ дольки. Долек не хватает! Берём одну целую шоколадку и ломаем её на дольки. Была единица — стала дробь $\frac{n}{n}$ (где $n$ — знаменатель). В формуле это выглядит так: $a \frac{m}{n} = (a - 1) \frac{m + n}{n}$ Целая часть уменьшилась на $1$ , зато числитель вырос на $n$ .

Пример: $5 \frac{1}{6} - 2 \frac{4}{6}$ . Видим: $\frac{1}{6} < \frac{4}{6}$ , дробей не хватает. Занимаем: $5 \frac{1}{6} = 4 \frac{7}{6}$ (одну целую разломали на $6$ шестых и добавили к той одной). Теперь спокойно вычитаем: целые $4 - 2 = 2$ , дроби $\frac{7}{6} - \frac{4}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ . Ответ: $2 \frac{1}{2}$ .

А если вычитаем из целого числа? Например, $3 - 1 \frac{2}{5}$ . У тройки вообще нет дробной части — значит, сразу занимаем: $3 = 2 \frac{5}{5}$ (одну единицу разломали на пять пятых). Дальше как обычно: $3 - 1 \frac{2}{5} = 2 \frac{5}{5} - 1 \frac{2}{5} = 1 \frac{3}{5}$

Если знаменатели разные

Дроби с разными знаменателями — как кусочки пиццы разного размера: четвертинки и шестые части просто так не сложишь. Сначала нужно «перенарезать» их одинаково — привести к общему знаменателю.

Как действовать:

Найди наименьший общий знаменатель (НОЗ) — самое маленькое число, которое делится на оба знаменателя.
Домножь числитель и знаменатель каждой дроби на нужный множитель.
Дальше складывай или вычитай по обычным правилам.

Пример: нужно подружить $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{6}$ . НОЗ $(4, 6) = 12$ . Перенарезаем: $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}, \frac{1}{6} = \frac{2}{12}$ Теперь кусочки одинаковые — можно считать!

Важно: целые части при этом не трогаем. Перенарезаем только дроби — целые пиццы остаются целыми.

Приводим ответ в порядок

Когда посчитал — не спеши записывать ответ. Проверь два момента.

1. Дробная часть должна быть правильной — числитель меньше знаменателя. Если получилась неправильная — выдели целое и прибавь к целой части.

2. Дробь должна быть несократимой. Если числитель и знаменатель делятся на одно и то же число (больше $1$ ) — сократи: раздели оба на их наибольший общий делитель (НОД).

Например, получилось $3 \frac{4}{6}$ . Дробь $\frac{4}{6}$ сократима: НОД $(4, 6) = 2$ , делим — получаем $\frac{2}{3}$ . Правильный ответ: $3 \frac{2}{3}$ .

И два особых случая:

Дробная часть равна нулю? Пиши просто целое: $4 \frac{0}{5} = 4$ .
Целая часть равна нулю? Пиши просто дробь: $0 \frac{3}{7} = \frac{3}{7}$ .

Ключевые формулы

a \frac{m}{n} = a + \frac{m}{n}, m < n

Смешанное число — это сумма:

a

— целая часть,

m

— числитель,

n

— знаменатель дробной части (дробь правильная, поэтому

m < n

)

a \frac{m}{n} + b \frac{k}{n} = (a + b) + \frac{m + k}{n}

Сложение при одинаковых знаменателях:

a

b

— целые части,

m

k

— числители,

n

— общий знаменатель. Целое к целому, дробь к дроби

a \frac{m}{n} = (a - 1) \frac{m + n}{n}, m < n

Заём единицы при вычитании:

a

— целая часть (уменьшается на 1),

m

— числитель,

n

— знаменатель. Единица превращается в дробь n/n и присоединяется к дробной части

a \frac{m}{n} = \frac{a \cdot n + m}{n}

Перевод в неправильную дробь:

a

— целая часть,

m

— числитель,

n

— знаменатель. Целое умножаем на знаменатель и прибавляем числитель

Запомни

Смешанное число $a \frac{m}{n}$ — это СУММА целой части $a$ и дроби $\frac{m}{n}$ , а не умножение!
Складываем и вычитаем по частям: целое — с целым, дробь — с дробью. Знаменатели дробей должны быть одинаковыми.
Сумма дробных частей получилась неправильной дробью? Выдели из неё целое и прибавь к целой части ответа.
Не хватает дробной части при вычитании? Займи единицу у целой части: она превратится в дробь $\frac{n}{n}$ и присоединится к дробной части.
Перед тем как записать ответ, проверь: дробная часть правильная? Несократимая? Если нет — доведи до ума.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Вычислить:

2 \frac{3}{7} + 1 \frac{2}{7}

Знаменатели одинаковые — обе дроби в седьмых долях. Можно сразу считать.
Складываем целые части: $2 + 1 = 3$ .
Складываем дробные части: $\frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3 + 2}{7} = \frac{5}{7}$ .
Проверяем: $\frac{5}{7}$ — правильная и несократимая. Записываем ответ: $3 + \frac{5}{7} = 3 \frac{5}{7}$ .

Ответ:

3 \frac{5}{7}

Пример 2

Вычислить:

4 \frac{1}{3} + 2 \frac{3}{4}

Подсказка: Сумма дробей получилась неправильной? Не паникуй — выдели из неё целое и прибавь к целой части.

Знаменатели разные: $3$ и $4$ . Ищем общий: НОЗ $(3, 4) = 12$ .
Перенарезаем дроби в двенадцатые доли: $\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12}$ , $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$ .
Складываем целые части: $4 + 2 = 6$ .
Складываем дробные части: $\frac{4}{12} + \frac{9}{12} = \frac{13}{12}$ .
Ой, $\frac{13}{12}$ — неправильная дробь (числитель больше знаменателя). Выделяем целое: $\frac{13}{12} = 1 \frac{1}{12}$ .
Прибавляем эту единицу к целой части: $6 + 1 \frac{1}{12} = 7 \frac{1}{12}$ .

Ответ:

7 \frac{1}{12}

Пример 3

Вычислить:

5 \frac{1}{6} - 2 \frac{5}{6}

Знаменатели одинаковые — шестые доли.
Сравниваем дробные части: $\frac{1}{6} < \frac{5}{6}$ . Дробей не хватает — занимаем единицу у целой части!
Занимаем: одна целая — это $\frac{6}{6}$ , поэтому $5 \frac{1}{6} = 4 \frac{1 + 6}{6} = 4 \frac{7}{6}$ .
Вычитаем целые части: $4 - 2 = 2$ .
Вычитаем дробные части: $\frac{7}{6} - \frac{5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ .
Записываем ответ: $2 \frac{1}{3}$ .

Ответ:

2 \frac{1}{3}

Пример 4

Вычислить:

7 \frac{1}{4} - 3 \frac{5}{6}

Подсказка: Тут сразу две хитрости: общий знаменатель и заём. Действуй по порядку: сначала перенарежь дроби, потом займи, потом вычитай.

Знаменатели разные: $4$ и $6$ . Находим общий: НОЗ $(4, 6) = 12$ .
Перенарезаем дроби: $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$ , $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$ .
Переписываем пример с общим знаменателем: $7 \frac{3}{12} - 3 \frac{10}{12}$ .
Сравниваем дробные части: $\frac{3}{12} < \frac{10}{12}$ — придётся занимать.
Занимаем единицу: $7 \frac{3}{12} = 6 \frac{3 + 12}{12} = 6 \frac{15}{12}$ .
Вычитаем целые части: $6 - 3 = 3$ .
Вычитаем дробные части: $\frac{15}{12} - \frac{10}{12} = \frac{5}{12}$ .
Проверяем: $\frac{5}{12}$ несократима (НОД $(5, 12) = 1$ ). Ответ: $3 \frac{5}{12}$ .

Ответ:

3 \frac{5}{12}

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Забывают занять единицу при вычитании и просто вычитают меньший числитель из большего «наоборот» — получается неверный ответ.
При переводе в неправильную дробь умножают на знаменатель числитель вместо целой части: пишут $\frac{m \cdot n + a}{n}$ , а правильно $\frac{a \cdot n + m}{n}$ .
Складывают дроби с разными знаменателями «в лоб»: числитель с числителем, знаменатель со знаменателем. Так нельзя — сначала общий знаменатель!
Не проверяют ответ: оставляют сократимую дробь или неправильную дробную часть.

Частые вопросы

Как складывать смешанные числа?

Отдельно сложить целые части и дробные:

2 \frac{1}{5} + 1 \frac{3}{5} = 3 \frac{4}{5}

. Если дробь получилась неправильной, выдели из неё целую часть.

Как вычесть смешанное число, если дробь меньше?

Занять единицу у целой части:

4 \frac{1}{5} = 3 \frac{6}{5}

. Тогда

4 \frac{1}{5} - 1 \frac{3}{5} = 3 \frac{6}{5} - 1 \frac{3}{5} = 2 \frac{3}{5}