5 класс Математика 12 мин чтения

Десятичные дроби

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Десятичная дробь — это удобный способ записать дробь со знаменателем 10, 100 или 1000: целую часть отделяют от дробной запятой. С такой записью дроби считаются почти так же легко, как обычные числа.

Проверь себя · 1 из 3

Вычисли:

75 \cdot 0, 1

Смотри на ценник в магазине: шоколадка стоит 59,90 рубля. Или на свой рост: 1,52 м. Эти числа с запятой — и есть десятичные дроби. Ты пользуешься ими каждый день, даже не замечая! Осталось разобраться, как они устроены, — и ты сможешь сравнивать, складывать и округлять их без калькулятора.

Содержание 11

Что такое десятичная дробь

Представь шоколадку из 10 долек. Ты съел 3 дольки — то есть $\frac{3}{10}$ шоколадки. Это же число можно записать короче: $0, 3$ . Вот и весь секрет!

Десятичная дробь — это дробь со знаменателем 10, 100, 1000 (единица с нулями), которую записывают в одну строку: целая часть, потом запятая, потом дробная часть.

Смотри, как это работает:

$\frac{3}{10} = 0, 3 \frac{47}{100} = 0, 47 \frac{5}{1000} = 0, 005 \frac{123}{100} = 1, 23$

Как читать такие числа. $3, 75$ читают так: «три целых семьдесят пять сотых». А как понять, десятые там, сотые или тысячные? Просто посчитай цифры после запятой:

1 цифра — десятые: $0, 7$ — «семь десятых»;
2 цифры — сотые: $0, 07$ — «семь сотых»;
3 цифры — тысячные: $0, 007$ — «семь тысячных».

Зачем это нужно? Попробуй сложить столбиком $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{8}$ — придётся возиться с общим знаменателем. А десятичные дроби складываются почти как обычные числа: поставил запятую под запятой — и считай!

Разряды десятичной дроби

Ты знаешь, что в числе 352 цифра 3 — это сотни, 5 — десятки, 2 — единицы. У каждой цифры своё место — разряд. После запятой эта лесенка продолжается, только теперь каждый шаг вправо делает разряд в 10 раз меньше.

Разберём число $3, 752$ :

Разряд	Цифра	Сколько это
единицы	3	$3$
десятые	7	$\frac{7}{10}$
сотые	5	$\frac{5}{100}$
тысячные	2	$\frac{2}{1000}$

Значит, всё число можно разложить на части:

$3, 752 = 3 + \frac{7}{10} + \frac{5}{100} + \frac{2}{1000}$

Важная фишка про нули. Нули В КОНЦЕ дробной части ничего не меняют:

$2, 5 = 2, 50 = 2, 500$

Это как сдача в магазине: 2 рубля 50 копеек — те же два с половиной рубля. Зато этим удобно пользоваться: допиши нули — и сравнивать или складывать станет проще.

А вот нули ВНУТРИ — важные! $0, 5 \neq = 0, 05$ (знак $\neq =$ значит «не равно»). В числе $0, 05$ ноль говорит: «десятых нет вообще», и пять — это всего лишь сотые. Полшоколадки и пять сотых шоколадки — почувствуй разницу!

Сравнение десятичных дробей

Кто больше: $5, 01$ или $4, 99$ ? Сравниваем как на соревнованиях — по старшим разрядам, слева направо.

Сначала смотрим на целые части. У кого больше — тот и победил. Тут $5 > 4$ , значит $5, 01 > 4, 99$ . Всё, дальше можно не смотреть!
Если целые части равны — сравниваем десятые, потом сотые и так далее, до первой разной цифры.

Удобный приём: допиши нули, чтобы цифр после запятой стало поровну, — и сравнивай как обычные числа.

Пример: что больше — $3, 7$ или $3, 698$ ?

Допишем нули: $3, 700$ и $3, 698$ . Целые части равны ( $3 = 3$ ). Смотрим на десятые: $7 > 6$ . Значит:

$3, 7 > 3, 698$

Осторожно, ловушка! Кажется, что $3, 698$ больше — оно же «длиннее». Неправда! Длина записи ничего не говорит о величине числа. Так же, как имя «Александр» длиннее имени «Макс», но это не значит, что Александр выше ростом.

Сложение и вычитание десятичных дробей

Главное правило одно: запятая под запятой! Когда записываешь числа в столбик, поставь запятые строго друг под другом — тогда десятые встанут под десятыми, сотые под сотыми, и всё сложится само.

План действий:

Уравняй число цифр после запятой (допиши нули, если надо).
Запиши в столбик, запятая под запятой.
Считай как с обычными числами.
В ответе поставь запятую на то же место — под остальными запятыми.

Сложение: $3, 7 + 12, 45$ .

Допишем нуль: $3, 70 + 12, 45$ . Считаем справа налево: сотые $0 + 5 = 5$ ; десятые $7 + 4 = 11$ — пишем 1, единичку переносим; единицы $3 + 2 + 1 = 6$ ; десятки $0 + 1 = 1$ . Ответ:

$3, 70 + 12, 45 = 16, 15$

Вычитание: $5, 3 - 2, 74$ .

Допишем нуль: $5, 30 - 2, 74$ . Из 0 сотых нельзя вычесть 4 — занимаем у десятых: $10 - 4 = 6$ . В десятых осталось 2, а вычесть надо 7 — занимаем у единиц: $12 - 7 = 5$ . В единицах осталось 4: $4 - 2 = 2$ . Ответ:

$5, 30 - 2, 74 = 2, 56$

Умножение и деление на 10, 100, 1000

Это самый частый трюк с десятичными дробями. Хорошая новость: тут вообще не надо считать — надо просто передвинуть запятую!

Умножаешь на 10, 100, 1000 — двигай запятую ВПРАВО. На сколько шагов? Сколько нулей в множителе, столько и шагов:

$2, 345 \cdot 10 = 23, 45 2, 345 \cdot 100 = 234, 5 2, 345 \cdot 1000 = 2345$

Делишь на 10, 100, 1000 — двигай запятую ВЛЕВО:

$47, 8 \div 10 = 4, 78 47, 8 \div 100 = 0, 478 47, 8 \div 1000 = 0, 0478$

Как запомнить? Умножение делает число больше — запятая убегает вправо, к большим числам. Деление делает меньше — запятая отступает влево.

Почему это работает? Умножить на 10 — значит сделать каждый разряд в 10 раз «тяжелее»: десятые становятся единицами, сотые — десятыми. Цифры те же, а запятая сдвинулась.

Если при сдвиге влево цифры закончились — допиши нули:

$3, 5 \div 100 = 0, 035$

(перед тройкой пришлось дописать нуль).

Округление десятичных дробей

Друг спрашивает, сколько стоила игра. Она стоила $1287, 45$ рубля, но ты скажешь «около 1300». Ты только что округлил число! Точность нужна не всегда — часто хватает приближённого значения.

Правило округления. Хочешь округлить до какого-то разряда — посмотри на первую отбрасываемую цифру (ту, что стоит сразу справа):

цифра $0$ , $1$ , $2$ , $3$ или $4$ — ничего не меняй, просто отбрось хвост (округление вниз);
цифра $5$ , $6$ , $7$ , $8$ или $9$ — увеличь последнюю оставляемую цифру на 1 (округление вверх).

Весь хвост правее нужного разряда отбрасывается.

Потренируемся на числе $7, 368$ :

до сотых: первая отбрасываемая — тысячные, это $8 \geq 5$ , округляем вверх: $7, 368 \approx 7, 37$ ;
до десятых: смотрим на сотые, это $6 \geq 5$ , вверх: $7, 368 \approx 7, 4$ ;
до единиц: смотрим на десятые, это $3 < 5$ , оставляем: $7, 368 \approx 7$ .

Знак $\approx$ читается «приближённо равно» — то есть «примерно».

Ключевые формулы

\frac{a}{1 0 ^{n}} = n знаков после запятой 0, 00 \dots 0 n - 1 нулей a

Перевод дроби в десятичную:

a

— числитель,

n

— число нулей в знаменателе; после запятой должно стоять ровно

n

цифр (не хватает — дописываем нули слева)

a \cdot 1 0^{n} ⟺ запятая \to n вправо

Умножение на 10, 100, 1000…:

a

— десятичная дробь,

n

— число нулей в множителе; запятая сдвигается на

n

знаков вправо

a \div 1 0^{n} ⟺ запятая \to n влево

Деление на 10, 100, 1000…:

a

— десятичная дробь,

n

— число нулей в делителе; запятая сдвигается на

n

знаков влево

Запомни

Считай цифры после запятой: 1 цифра — десятые, 2 — сотые, 3 — тысячные.
Нули в конце дробной части ничего не меняют: 2,5 = 2,50 = 2,500 (как 2 рубля 50 копеек — те же два с половиной рубля).
В столбике запятая стоит строго под запятой — тогда разряды совпадут сами.
Умножаешь на 10, 100, 1000 — запятая вправо; делишь — влево. Сколько нулей, столько шагов.
Перед сравнением допиши нули до одинакового числа цифр — и сравнивай как обычные числа.
При округлении смотри только на первую отбрасываемую цифру: 0–4 — вниз, 5–9 — вверх.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Запишите в виде десятичной дроби:

\frac{7}{10}

\frac{43}{100}

\frac{9}{1000}

$\frac{7}{10}$ : в знаменателе один нуль — после запятой одна цифра. Получаем $\frac{7}{10} = 0, 7$ .
$\frac{43}{100}$ : в знаменателе два нуля — после запятой две цифры. Получаем $\frac{43}{100} = 0, 43$ .
$\frac{9}{1000}$ : нужно три цифры после запятой, а у нас только девятка. Дописываем нули слева: $\frac{9}{1000} = 0, 009$ .

Ответ:

0, 7

;

0, 43

;

0, 009

Пример 2

Сравните числа:

0, 8

0, 79

Подсказка: Не верь длине записи! Допиши нуль — и сравнивай разряд за разрядом.

Уравняем число цифр после запятой: $0, 80$ и $0, 79$ .
Целые части равны: $0 = 0$ . Идём дальше.
Сравним десятые: $8 > 7$ , значит $0, 80 > 0, 79$ . На полоске видно: $0, 8$ — это целых 8 долек из 10!

Ответ:

0, 8 > 0, 79

Пример 3

Вычислите:

4, 7 + 2, 358

Подсказка: Перед счётом проверь: запятые стоят строго друг под другом? Тогда и в ответе запятая встанет на своё место.

Уравняем число цифр после запятой: $4, 700 + 2, 358$ .
Складываем в столбик справа налево: тысячные $0 + 8 = 8$ ; сотые $0 + 5 = 5$ ; десятые $7 + 3 = 10$ — пишем 0, единичку переносим; единицы $4 + 2 + 1 = 7$ .
Собираем ответ: $4, 700 + 2, 358 = 7, 058$ .

Ответ:

7, 058

Пример 4

Найдите значение выражения:

3, 06 \cdot 100 - 18, 4 \div 10

Подсказка: Порядок действий обычный: сначала умножение и деление (слева направо), потом сложение и вычитание.

Сначала умножение: $3, 06 \cdot 100 = 306$ — запятая прыгает на 2 знака вправо, и дробная часть исчезает.
Теперь деление: $18, 4 \div 10 = 1, 84$ — запятая отступает на 1 знак влево.
Осталось вычитание: $306 - 1, 84 = 306, 00 - 1, 84 = 304, 16$ .

Ответ:

304, 16

Пример 5

Округлите число

7, 368

до десятых.

Нужный разряд — десятые, там стоит цифра 3. Первая отбрасываемая цифра — сотые, это 6.
Так как $6 \geq 5$ , округляем вверх: тройка в десятых превращается в четвёрку.
Отбрасываем весь хвост после десятых: $7, 368 \approx 7, 4$ .

Ответ:

7, 368 \approx 7, 4

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Двигать запятую не в ту сторону: умножают на 100, а запятую сдвигают влево — число получается в 10 000 раз меньше, чем надо.
В столбике выравнивать числа по последней цифре, а не по запятой — разряды съезжают, и ответ выходит неверным.
Думать, что 0,70 > 0,7, потому что «70 больше 7». Это одно и то же число: нули в конце дробной части ничего не меняют!
При делении на 10 дописывать нуль вместо сдвига запятой: писать 3,500 вместо правильного 3,5 ÷ 10 = 0,35.
При округлении смотреть на весь «хвост» сразу, а не только на первую отбрасываемую цифру.

Частые вопросы

Как умножать и делить десятичные дроби?

Умножай без запятых и отдели справа столько знаков, сколько их у обоих множителей вместе:

0, 25 \cdot 0, 4 = 0, 1

. При делении на дробь перенеси запятую, чтобы делитель стал целым:

7, 56 : 0, 12 = 756 : 12 = 63

Как умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000?

Перенести запятую вправо на столько знаков, сколько нулей в множителе:

3, 75 \cdot 100 = 375

. При делении запятую переносят влево:

3, 75 : 10 = 0, 375

Как складывать десятичные дроби?

Запиши их столбиком запятая под запятой, уравняй число знаков нулями и сложи как обычные числа:

4, 700 + 2, 358 = 7, 058