Умножение и деление десятичных дробей

Представь: шоколадка стоит $1,4$ монеты (пусть будут монеты — так проще). Ты берёшь 3 штуки. Сколько платить? Это $1,4+1,4+1,4$ — то есть $1,4\cdot 3$. Складывать долго, поэтому есть короткое правило.

Почему это работает? Запись $1,23$ — это на самом деле $\frac{123}{100}$ (сто двадцать три сотых). Тогда: $1,23\cdot 4=\frac{123\cdot 4}{100}=\frac{492}{100}=4,92$ Внизу как была сотня, так и осталась. Поэтому и цифр после запятой как было две, так две и осталось. Никакого волшебства!

Суперлёгкий случай: умножение на 10, 100, 1000. Тут даже считать не надо — просто сдвинь запятую вправо. Сколько нулей в множителе, на столько шагов и сдвигай: $3,75\cdot 100=375,0,6\cdot 10=6$

А если оба числа с запятой? Например, полплитки шоколада ($0,5$) от плитки весом $0,4$ кг. Правило почти то же, только теперь следим за двумя запятыми сразу.

Почему? Смотри: $1,2\cdot 0,3=\frac{12}{10}\cdot \frac{3}{10}=\frac{36}{100}=0,36$ Десятки внизу перемножились: $10\cdot 10=100$. Поэтому и цифры после запятой складываются: $1+1=2$.

А если цифр не хватает? Бывает, что отделить нужно больше цифр, чем есть. Тогда допиши нули слева. Например, $0,2\cdot 0,3$: перемножаем $2\cdot 3=6$, а отделить надо два знака. Одной цифры мало — дописываем ноль и получаем $0,06$.

А если в конце вылезли нули? Нули в самом конце дробной части можно смело стереть — число от этого не меняется: $0,5\cdot 0,4=0,20=0,2$

Трое друзей скинулись на пиццу за $7,5$ монеты. Сколько с каждого? Надо разделить $7,5$ на $3$.

Если целая часть меньше делителя — не пугайся. Пиши в ответе $0$, ставь запятую и продолжай. Например: $2÷5=0,4$ (две монеты на пятерых — по $0,4$ каждому).

Иногда цифры кончились, а остаток ещё есть. Тогда приписывай к делимому нули и дели дальше. Это честно: $7,2$ — то же самое, что $7,20$ или $7,200$. Так получается, например, $9÷4=2,25$.

Суперлёгкий случай: деление на 10, 100, 1000. Запятая прыгает влево — на столько шагов, сколько нулей в делителе: $47,3÷100=0,473$ Запомни: умножение двигает запятую вправо (число растёт), деление — влево (число уменьшается).

Делить столбиком на число с запятой — мучение. Поэтому математики придумали трюк: сначала избавиться от запятой в делителе.

Почему так можно? Представь: у тебя 6 конфет на 2 друзей — по 3 каждому. А если 60 конфет на 20 друзей? Всё равно по 3! Если делимое и делитель увеличить в одинаковое число раз, ответ не изменится: $\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k}$ Здесь $a$ — делимое, $b$ — делитель, $k$ — число, на которое умножаем оба (только не ноль).

На практике никто не умножает — просто переносят запятую вправо на одинаковое число шагов в обоих числах. Например, $3,6÷0,12$: у делителя $0,12$ два знака после запятой, значит, двигаем запятую на два шага в обоих числах: $3,6÷0,12=360÷12=30$ Пошаговый план.

1. Посчитай, сколько цифр после запятой у делителя.
2. Сдвинь запятую в делителе вправо на это число шагов — запятая исчезнет.
3. Сдвинь запятую в делимом вправо на столько же шагов (не хватает цифр — допиши нули справа).
4. Дели как на обычное число.

С десятичными дробями работают те же удобные свойства, что и с обычными числами. Это твои читы для быстрого счёта.

Можно менять множители местами: $a\cdot b=b\cdot a$ (здесь $a$ и $b$ — любые числа).

Можно группировать как удобно: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$. Ищи «удобную» пару и перемножай её первой!

Можно раскрывать скобки: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$. Работает и наоборот — общий множитель можно вынести за скобку.

Единица и ноль ведут себя как всегда: $a\cdot 1=a$ и $a\cdot 0=0$.

С делением: $a÷1=a$, а $0÷a=0$ при $a\ne 0$. На ноль делить нельзя — никогда и никому.

Смотри, как чит работает в деле: $0,25\cdot 7\cdot 4=0,25\cdot 4\cdot 7=1\cdot 7=7$ Мы заметили, что $0,25\cdot 4=1$, переставили множители — и пример решился в уме.