Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность $a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n,\dots$, в которой разность каждого следующего члена и предыдущего одна и та же для любого номера.

Эта постоянная разность называется разностью прогрессии и обозначается буквой $d$. Для любого натурального $n$: $d=a_{n+1}-a_n$

Число $a_1$ называется первым членом прогрессии.

Примеры:

• $2,5,8,11,14,\dots$ — прогрессия с $a_1=2$, $d=3$.
• $10,7,4,1,-2,\dots$ — прогрессия с $a_1=10$, $d=-3$.
• $5,5,5,5,\dots$ — прогрессия с $d=0$ (постоянная последовательность).

Если $d>0$, прогрессия возрастающая; если $d<0$ — убывающая; если $d=0$ — постоянная.

Зная первый член $a_1$ и разность $d$, можно найти любой член прогрессии, не перечисляя все предыдущие.

Понаблюдаем за закономерностью: $a_2=a_1+d,$ $a_3=a_1+2d,$ $a_4=a_1+3d.$ Видим: при переходе к $n$-му члену $d$ прибавляется ровно $(n-1)$ раз. Поэтому: $a_n=a_1+(n-1)\cdot d.$

Эта формула — главный инструмент для работы с арифметической прогрессией.

Пример. Найти $a_{10}$ прогрессии $3,7,11,\dots$
Здесь $a_1=3$, $d=4$. $a_{10}=3+(10-1)\cdot 4=3+36=39.$

Для любого члена прогрессии, стоящего между двумя соседями, выполняется свойство: $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}.$ Иначе говоря, каждый член равен среднему арифметическому соседних членов. Это свойство характеризует арифметическую прогрессию: если оно выполняется для всех внутренних членов, последовательность является арифметической прогрессией.

Более общее свойство: если взять два члена с номерами $k$ и $m$ такими, что $k+m=2n$ (то есть $n$ — среднее между $k$ и $m$), то: $a_k+a_m=2a_n.$ В частности, для любых двух симметричных относительно середины членов: $a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=\dots$

Пусть нужно найти сумму $S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$.

Идея вывода. Запишем сумму дважды — прямо и в обратном порядке, а затем сложим: $S_n=a_1+a_2+\dots +a_n,$ $S_n=a_n+a_{n-1}+\dots +a_1.$ При попарном сложении каждая пара даёт одно и то же: $a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=\dots$ Таких пар ровно $n$, значит: $2S_n=n\cdot (a_1+a_n),$ $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}.$

Этот же результат можно записать через $d$, подставив $a_n=a_1+(n-1)d$: $S_n=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}.$

Какую формулу использовать?

• Если известны $a_1$ и $a_n$ — первая формула удобнее.
• Если известны $a_1$ и $d$, а $a_n$ не задан — вторая.

Последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда разность любых двух соседних членов одна и та же: $a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3=\dots =d=\text{const}.$

Проверяй по шагам:

1. Вычисли $a_2-a_1$.
2. Проверь, равна ли $a_3-a_2$ той же величине.
3. Если для всех соседних пар разность одинакова — это арифметическая прогрессия.

Пример-ловушка. Последовательность $1,2,4,8,16$ — НЕ арифметическая прогрессия, так как $2-1=1$, но $4-2=2\ne 1$.