Числовые последовательности и их свойства

Числовая последовательность — это функция, заданная на множестве натуральных чисел: каждому номеру $n\in \mathbb{N}$ сопоставляется ровно одно действительное число $a_n$.

Запись: $a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n,\dots$ или коротко $(a_n)$.

$a_n$ называют $n$-м членом (общим членом) последовательности, а $n$ — его номером (индексом).

Способы задания последовательности:

1. Формулой общего члена: явно выражают $a_n$ через $n$. Пример: $a_n=2n-1$ даёт нечётные числа $1,3,5,7,\dots$

1. Рекуррентной формулой: каждый следующий член выражается через предыдущие. Пример: $a_1=1$, $a_{n+1}=a_n+3$ даёт $1,4,7,10,\dots$

1. Словесным описанием: «последовательность простых чисел» — $2,3,5,7,11,\dots$

Важно: порядок членов принципиален. Последовательности $1,2,3$ и $2,1,3$ — разные.

Монотонность

Последовательность называют возрастающей, если для любого $n$ выполнено $a_n<a_{n+1}$, и убывающей, если $a_n>a_{n+1}$.

Возрастающую и убывающую последовательности вместе называют монотонными.

Пример возрастающей: $a_n=n^2$ — члены $1,4,9,16,\dots$ каждый раз больше предыдущего.
Пример убывающей: $a_n=\frac{1}{n}$ — члены $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots$ убывают.

Ограниченность

Последовательность ограничена сверху, если существует число $M$ такое, что $a_n\le M$ для всех $n$.
Последовательность ограничена снизу, если существует число $m$ такое, что $a_n\ge m$ для всех $n$.
Если последовательность ограничена и сверху, и снизу, её называют просто ограниченной.

Пример: $a_n=\frac{1}{n}$ ограничена: снизу числом $0$, сверху числом $1$.

Периодическая последовательность

Последовательность называют периодической с периодом $T$, если $a_{n+T}=a_n$ для всех $n$. Члены циклически повторяются.

Пример: $1,-1,1,-1,\dots$ — период $T=2$.

Арифметическая прогрессия (А.П.) — последовательность, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число $d$ (разность прогрессии): $a_{n+1}=a_n+d.$

Если $d>0$ — прогрессия возрастающая, $d<0$ — убывающая, $d=0$ — постоянная.

Формула общего члена: $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$.

Формула суммы первых $n$ членов: $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.$ Или, подставляя формулу общего члена: $S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n.$

Характеристическое свойство: три числа $a$, $b$, $c$ образуют А.П. тогда и только тогда, когда $2b=a+c$ (средний член равен среднему арифметическому соседей).

Пример: $2,5,8,11,\dots$ — $a_1=2$, $d=3$. Десятый член: $a_{10}=2+9\cdot 3=29$.

Геометрическая прогрессия (Г.П.) — последовательность ненулевых чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число $q$ (знаменатель прогрессии): $a_{n+1}=a_n\cdot q,q\ne 0.$

Знаменатель $q\ne 1$ (иначе все члены равны и прогрессия тривиальна); $q\ne 0$ по определению.

Формула общего члена: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$.

Формула суммы первых $n$ членов при $q\ne 1$: $S_n=a_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1}.$

Характеристическое свойство: три ненулевых числа $a$, $b$, $c$ образуют Г.П. тогда и только тогда, когда $b^2=a\cdot c$ (средний член — среднее геометрическое соседей).

Частные случаи поведения:

• $|q|>1$: члены неограниченно растут по абсолютному значению.
• $0<|q|<1$: члены стремятся к нулю.
• $q<0$: знаки членов чередуются.

Пример: $3,6,12,24,\dots$ — $a_1=3$, $q=2$. Пятый член: $a_5=3\cdot 2^4=48$.

Геометрическую прогрессию называют бесконечно убывающей, если $|q|<1$. В этом случае её члены стремятся к нулю, а сумма всех бесконечного числа членов имеет конечное значение.

Сумма бесконечно убывающей Г.П. при $|q|<1$: $S=\frac{a_1}{1-q}.$

Откуда берётся эта формула? Из формулы суммы $n$ членов: при $|q|<1$ значение $q^n$ стремится к нулю при росте $n$, поэтому $S_n\to \frac{a_1}{1-q}$.

Практический смысл: бесконечная сумма $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots$ равна $\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$. Это и объясняет, почему черепаха в парадоксе Зенона всё-таки будет догнана Ахиллесом.

Применение: перевод бесконечных периодических десятичных дробей в обыкновенные. Например, $0,333\dots =\frac{0,3}{1-0,1}=\frac{1}{3}$.