9 класс Алгебра 9 мин чтения

Геометрическая прогрессия

Q: Как найти q в геометрической прогрессии?

Разделить любой член на предыдущий: q = b_(n+1)/bₙ. Если известны b₁ и bₙ, то qⁿ⁻¹ = bₙ/b₁.

Q: Как найти b₁, если известен bₙ?

Из формулы bₙ = b₁ qⁿ⁻¹: b₁ = bₙ/qⁿ⁻¹. При b₄ = 24 и q = 2 получаем b₁ = 24/8 = 3.

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Геометрическая прогрессия — числовая последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же ненулевое число.

Проверь себя · 1 из 3

Какие из последовательностей — геометрические прогрессии? 1)

3; 6; 12; 24

5; 5; 5; 5

2; 4; 6; 8

1; - 2; 4; - 8

Представь, что кладёшь на счёт 1000 рублей под 10% годовых: каждый год сумма умножается на одно и то же число — вот и геометрическая прогрессия в жизни. Она встречается в расчёте процентов, физике радиоактивного распада, биологии роста бактерий и даже в настройке музыкальной гаммы.

bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹ — рост ускоряется

Содержание 10

Определение и основные понятия

Геометрическая прогрессия — последовательность $b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots, b_{n}, \dots$ , в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же ненулевое число $q$ .

Число $q$ называется знаменателем прогрессии.

Условие геометрической прогрессии: для каждого $n \geq 2$ выполняется $b_{n} = b_{n - 1} \cdot q$ .

Отсюда отношение соседних членов всегда постоянно: $\frac{b _{n + 1}}{b _{n}} = q$ .

Важные ограничения:

$b_{1} \neq = 0$ (первый член не равен нулю)
$q \neq = 0$ (знаменатель не равен нулю)

Если хоть один член равен нулю, последовательность не является геометрической прогрессией.

Примеры:

$2; 6; 18; 54; \dots$ — геометрическая прогрессия, $b_{1} = 2$ , $q = 3$
$16; 8; 4; 2; 1; \dots$ — геометрическая прогрессия, $b_{1} = 16$ , $q = \frac{1}{2}$
$5; - 10; 20; - 40; \dots$ — геометрическая прогрессия, $b_{1} = 5$ , $q = - 2$

Формула $n$ -го члена

Вывод формулы. Запишем первые члены прогрессии через $b_{1}$ и $q$ :

$b_{1} = b_{1}$

$b_{2} = b_{1} \cdot q$

$b_{3} = b_{2} \cdot q = b_{1} \cdot q^{2}$

$b_{4} = b_{3} \cdot q = b_{1} \cdot q^{3}$

Видим закономерность: показатель степени у $q$ равен номеру члена минус один. Значит, для любого натурального $n$ :

$b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$

Когда применять: когда нужно найти конкретный член прогрессии, не перемножая всё по цепочке.

Частный случай — связь через произвольный член: если известен $b_{k}$ , то $b_{n} = b_{k} \cdot q^{n - k}$ .

Виды геометрических прогрессий

Характер прогрессии зависит от значения знаменателя $q$ .

$q$	Поведение прогрессии
$q > 1$	Члены возрастают (при $b_{1} > 0$ )
$0 < q < 1$	Члены убывают к нулю
$q = 1$	Все члены равны $b_{1}$
$q < 0$	Члены чередуют знак
$q = - 1$	Чередуются $b_{1}$ и $- b_{1}$

Знакочередующаяся прогрессия возникает при $q < 0$ : члены поочерёдно положительные и отрицательные.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — прогрессия, в которой $∣ q ∣ < 1$ . Её члены стремятся к нулю, и у неё существует конечная сумма бесконечного числа членов.

Сумма первых $n$ членов

Вывод формулы суммы. Пусть $S_{n} = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}$ .

Умножим обе части на $q$ : $q \cdot S_{n} = b_{1} q + b_{1} q^{2} + \dots + b_{1} q^{n}$ .

Вычтем первое равенство из второго:

$q \cdot S_{n} - S_{n} = b_{1} q^{n} - b_{1}$

$S_{n} (q - 1) = b_{1} (q^{n} - 1)$

При $q \neq = 1$ делим обе части на $(q - 1)$ :

$S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$

Часто формулу удобнее записывать через последний член $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ , тогда $b_{1} q^{n} = b_{n} \cdot q$ :

$S_{n} = \frac{b _{n} \cdot q - b _{1}}{q - 1}$

При $q = 1$ прогрессия вырождается: $S_{n} = b_{1} \cdot n$ .

Сумма бесконечно убывающей прогрессии (только при $∣ q ∣ < 1$ ):

При $∣ q ∣ < 1$ слагаемое $q^{n} \to 0$ , поэтому числитель стремится к $- b_{1}$ :

$S = \frac{b _{1}}{1 - q}$

Свойство средних членов

Для геометрической прогрессии выполняется важное свойство среднего члена: квадрат любого члена прогрессии равен произведению симметрично стоящих относительно него членов:

$b_{n}^{2} = b_{n - k} \cdot b_{n + k}$

Частный случай при $k = 1$ : $b_{n}^{2} = b_{n - 1} \cdot b_{n + 1}$ .

Это свойство используется для проверки, является ли тройка чисел членами одной геометрической прогрессии: надо проверить, что $b_{2}^{2} = b_{1} \cdot b_{3}$ .

Геометрическое среднее. Если $b_{2}^{2} = b_{1} \cdot b_{3}$ , то $b_{2}$ называют средним геометрическим чисел $b_{1}$ и $b_{3}$ :

$b_{2} = \pm b_{1} \cdot b_{3}$

(знак выбирается по условию задачи).

Ключевые формулы

b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}

n

-й член прогрессии — когда нужно найти любой член по номеру

S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}

Сумма первых

n

членов при

q \neq = 1

— стандартная формула суммы

S = \frac{b _{1}}{1 - q}

Сумма бесконечно убывающей прогрессии — только при

∣ q ∣ < 1

b_{n}^{2} = b_{n - 1} \cdot b_{n + 1}

Свойство среднего члена — для проверки или нахождения среднего геометрического

Запомни

Знаменатель $q$ и первый член $b_{1}$ не могут быть равны нулю — иначе это не геометрическая прогрессия.
В формуле $n$ -го члена показатель степени равен $n - 1$ , а не $n$ : $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ .
Формула суммы $S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$ работает только при $q \neq = 1$ ; при $q = 1$ сумма равна $b_{1} \cdot n$ .
Сумма бесконечной прогрессии существует только при $∣ q ∣ < 1$ ; при $∣ q ∣ \geq 1$ сумма бесконечна.
Три числа образуют геометрическую прогрессию, если квадрат среднего равен произведению крайних: $b_{2}^{2} = b_{1} \cdot b_{3}$ .

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Найдите 7-й член геометрической прогрессии, в которой

b_{1} = 3

q = 2

Подсказка: Показатель степени — это номер члена минус 1, то есть

7 - 1 = 6

Запишем формулу $n$ -го члена: $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ .
Подставляем $n = 7$ , $b_{1} = 3$ , $q = 2$ : $b_{7} = 3 \cdot 2^{7 - 1} = 3 \cdot 2^{6}$ .
$2^{6} = 64$ , поэтому $b_{7} = 3 \cdot 64 = 192$ .

Ответ:

b_{7} = 192

Пример 2

Геометрическая прогрессия:

b_{2} = 6

b_{5} = 48

. Найдите знаменатель

q

и первый член

b_{1}

Подсказка: Чтобы найти

q

, раздели больший известный член на меньший — получишь

q

в некоторой степени.

Запишем два члена через формулу: $b_{2} = b_{1} \cdot q$ и $b_{5} = b_{1} \cdot q^{4}$ .
Разделим второе равенство на первое: $\frac{b _{5}}{b _{2}} = \frac{b _{1} \cdot q ^{4}}{b _{1} \cdot q} = q^{3}$ .
$q^{3} = \frac{48}{6} = 8$ , откуда $q = 38 = 2$ .
Находим $b_{1}$ из $b_{2} = b_{1} \cdot q$ : $b_{1} = \frac{b _{2}}{q} = \frac{6}{2} = 3$ .

Ответ:

q = 2

b_{1} = 3

Пример 3

Найдите сумму первых 6 членов геометрической прогрессии с

b_{1} = 1

q = 3

Применяем формулу суммы при $q \neq = 1$ : $S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$ .
Подставляем $n = 6$ , $b_{1} = 1$ , $q = 3$ : $S_{6} = \frac{1 \cdot ( 3 ^{6} - 1 )}{3 - 1}$ .
$3^{6} = 729$ , поэтому $S_{6} = \frac{729 - 1}{2} = \frac{728}{2} = 364$ .

Ответ:

S_{6} = 364

Пример 4

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

b_{1} = 12

q = - \frac{1}{3}

Проверяем условие существования суммы: $∣ q ∣ = \frac{1}{3} < 1$ — условие выполнено.
Применяем формулу суммы бесконечной прогрессии: $S = \frac{b _{1}}{1 - q}$ .
Подставляем: $S = \frac{12}{1 - ( - \frac{1}{3} )} = \frac{12}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{12}{\frac{4}{3}}$ .
$\frac{12}{\frac{4}{3}} = 12 \cdot \frac{3}{4} = \frac{36}{4} = 9$ .

Ответ:

S = 9

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают показатель степени: пишут $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n}$ вместо $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ . Проверь: при $n = 1$ должно получиться $b_{1}$ , а $b_{1} \cdot q^{0} = b_{1}$ — верно.
Применяют формулу суммы бесконечной прогрессии при $∣ q ∣ \geq 1$ . Сначала проверь условие $∣ q ∣ < 1$ , иначе бесконечная сумма не существует.
При отрицательном $q$ забывают, что $q^{n}$ может быть отрицательным, и неверно вычисляют знак члена или суммы.
При нахождении $q$ из двух членов делят $b_{n}$ на $b_{1}$ вместо извлечения корня нужной степени: $q = n - 1 \frac{b _{n}}{b _{1}}$ , а не $q = \frac{b _{n}}{b _{1}}$ .

Частые вопросы

Как найти q в геометрической прогрессии?

Разделить любой член на предыдущий:

q = \frac{b _{n + 1}}{b _{n}}

. Если известны

b_{1}

b_{n}

, то

q^{n - 1} = \frac{b _{n}}{b _{1}}

Как найти b₁, если известен bₙ?

Из формулы

b_{n} = b_{1} q^{n - 1}

b_{1} = \frac{b _{n}}{q ^{n - 1}}

. При

b_{4} = 24

q = 2

получаем

b_{1} = \frac{24}{8} = 3

Геометрическая прогрессия

Определение и основные понятия

Формула n-го члена

Виды геометрических прогрессий

Сумма первых n членов

Свойство средних членов

Ключевые формулы

Разбор примеров

Частые вопросы

Формула $n$ -го члена

Сумма первых $n$ членов