5 класс Математика 12 мин чтения

Объём прямоугольного параллелепипеда

Q: Как найти объём прямоугольного параллелепипеда?

Перемножь длину, ширину и высоту: V = abc. Например, 5 · 6 · 4 = 120 см³.

Q: Как найти высоту, если известен объём?

Раздели объём на площадь основания: h = V : S. Например, 560 : (14 · 8) = 5 см.

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Чтобы найти объём прямоугольного параллелепипеда, перемножь его длину, ширину и высоту: V = abc. Например, у коробки 5 см × 6 см × 4 см объём равен 5 · 6 · 4 = 120 см³. Все три измерения бери в одних единицах, а ответ записывай в кубических: см³, дм³, м³.

Проверь себя · 1 из 3

Объём прямоугольного параллелепипеда

5 \times 4 \times 6

Сколько воды войдёт в аквариум? Сколько кубиков поместится в коробку? Хватит ли места в кладовке для шкафа? Все эти вопросы про объём. Хорошая новость: у прямоугольной коробки объём считается одним умножением. Разберёмся, что такое объём, в чём его измеряют и как переводить кубические сантиметры в литры.

V = a · b · c

Содержание 10

Что такое объём

Возьми одинаковые кубики и сложи из них две фигуры. Если в обеих фигурах по 5 кубиков, их объёмы равны, даже если фигуры выглядят по-разному. А коробка из 18 кубиков вдвое больше по объёму, чем коробка из 9 таких же кубиков.

С объёмом ты встречаешься каждый день: объём бака у машины, объём бассейна, объём комнаты, цифры на счётчике воды.

У объёма два главных свойства:

Равные фигуры имеют равные объёмы. Две одинаковые бочки вмещают одинаково.
Объём фигуры равен сумме объёмов её частей. Объём двухкамерного холодильника складывается из объёмов двух камер.

Измерить объём фигуры значит подсчитать, сколько единичных кубов в ней помещается.

Единицы объёма

Длину мерят отрезками, площадь мерят квадратами, а объём мерят кубами. Единичный куб — это куб, ребро которого равно единичному отрезку.

Объём куба с ребром 1 см называют кубическим сантиметром и пишут $1$ см³. Так же получаются кубический миллиметр (мм³), кубический дециметр (дм³), кубический метр (м³) и кубический километр (км³).

Для жидкостей и газов кубический дециметр называют литром: $1$ л $= 1$ дм³. Пакет молока на 1 литр как раз помещается в куб с ребром 10 см.

Единица	Куб с ребром	Сколько это
1 мм³	1 мм	самая маленькая
1 см³	1 см	1 000 мм³
1 дм³ = 1 л	1 дм	1 000 см³
1 м³	1 м	1 000 дм³ = 1 000 000 см³
1 км³	1 км	1 000 000 000 м³

Почему именно 1 000? В 1 дм помещается 10 см. Значит, куб с ребром 1 дм можно сложить из кубиков с ребром 1 см: 10 в длину, 10 в ширину и 10 в высоту.

$1 дм^{3} = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000 см^{3}$

Длина растёт в 10 раз, площадь в 100 раз, а объём сразу в 1 000 раз.

Формула объёма: V = abc

Пусть у прямоугольного параллелепипеда длина 5 см, ширина 6 см, высота 4 см. Разрежем его на кубики с ребром 1 см.

На дне поместится ряд из 5 кубиков, а таких рядов 6. Получается слой из $5 \cdot 6 = 30$ кубиков. Слоёв в высоту 4, поэтому всего кубиков:

$5 \cdot 6 \cdot 4 = 120$

Объём равен 120 см³.

Правило. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений:

$V = ab c$

Здесь $V$ — объём, $a$ , $b$ и $c$ — длина, ширина и высота.

Важно: все три измерения должны быть в одних и тех же единицах. Если длина дана в дециметрах, а ширина в сантиметрах, сначала переведи их в одну единицу и только потом умножай.

Объём куба: V = a³

У куба все рёбра равны. Длина, ширина и высота одинаковые, поэтому формула становится короче:

$V = a \cdot a \cdot a = a^{3}$

Здесь $a$ — длина ребра куба. Куб с ребром 3 см имеет объём $3^{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ см³.

Кстати, именно поэтому третью степень числа называют кубом числа.

Как найти ребро куба по объёму. Нужно подобрать число, которое при умножении само на себя три раза даёт объём. Полезно помнить кубы первых чисел:

Число	Куб	Число	Куб
1	1	6	216
2	8	7	343
3	27	8	512
4	64	9	729
5	125	10	1 000

Если объём куба 343 см³, его ребро 7 см, потому что $7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$ .

Формула V = Sh и обратные задачи

Длина $a$ и ширина $b$ лежат на дне параллелепипеда. Их произведение равно площади основания: $S = ab$ . Высоту обозначим буквой $h$ . Тогда

$V = abh = (ab) \cdot h = S h$

Правило. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Эта формула помогает решать задачи наоборот, когда объём известен, а одно измерение нет:

высота: $h = V : S$ ;
площадь основания (например, площадь пола комнаты): $S = V : h$ ;
неизвестное ребро: раздели объём на произведение двух известных рёбер, $c = V : (ab)$ .

Пример. Бак вмещает 324 дм³, площадь дна 54 дм². Какая у него высота? Делим объём на площадь дна: $h = 324 : 54 = 6$ дм.

Ключевые формулы

V = ab c

Объём прямоугольного параллелепипеда:

V = ab c

, где

a

b

c

— длина, ширина и высота в одних единицах

V = S h

Объём через площадь основания:

V = S h

, где

S

— площадь основания,

h

— высота

V = a^{3}

Объём куба:

V = a^{3}

, где

a

— длина ребра

h = V : S

Высота по объёму и площади основания:

h = V : S

1 дм^{3} = 1000 см^{3} = 1 л

Единицы объёма:

1

дм³

= 1000

см³,

1

м³

= 1000

дм³,

1

= 1

дм³

Запомни

Объём прямоугольного параллелепипеда: перемножь длину, ширину и высоту, V = abc.
Перед умножением переведи все измерения в одни единицы.
Объём куба: ребро умножь само на себя три раза, V = a³.
V = Sh: объём равен площади основания, умноженной на высоту. Отсюда h = V : S.
Соседние единицы объёма отличаются в 1 000 раз: 1 см³ = 1 000 мм³, 1 дм³ = 1 000 см³, 1 м³ = 1 000 дм³.
1 литр = 1 дм³ = 1 000 см³.

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда: длина 50 см, ширина 30 см, высота 40 см. Сколько литров воды в него войдёт, если налить доверху?

Все измерения в сантиметрах, можно сразу умножать: $V = ab c = 50 \cdot 30 \cdot 40$ .
Считаем: $50 \cdot 30 = 1500$ , затем $1500 \cdot 40 = 60000 см^{3}$ .
Переводим в литры: $1$ л $= 1$ дм³ $= 1000$ см³, поэтому $60000 : 1000 = 60$ л.

Ответ: 60 л

Пример 2

Чему равен объём куба, ребро которого равно 6 см?

Объём куба: $V = a^{3}$ , здесь $a = 6$ см.
Считаем: $6 \cdot 6 = 36$ , затем $36 \cdot 6 = 216$ см³.

Ответ: 216 см³

Пример 3

Объём прямоугольного параллелепипеда равен 560 см³, длина 14 см, ширина 8 см. Найдите его высоту.

Находим площадь основания: $S = 14 \cdot 8 = 112$ см².
Из формулы $V = S h$ получаем $h = V : S = 560 : 112 = 5 см$ .
Проверка: $14 \cdot 8 \cdot 5 = 560 см^{3}$ . Сходится.

Ответ: 5 см

Пример 4

Выразите: 1) 3 м³ 25 дм³ в кубических дециметрах; 2) 42 000 см³ в кубических дециметрах; 3) 7 см³ в кубических миллиметрах.

1) $1$ м³ $= 1000$ дм³, значит $3$ м³ $= 3000$ дм³. Прибавляем: $3000 + 25 = 3025$ дм³.
2) $1$ дм³ $= 1000$ см³, поэтому делим: $42000 : 1000 = 42$ дм³.
3) $1$ см³ $= 1000$ мм³, значит $7$ см³ $= 7 \cdot 1000 = 7000 мм^{3}$ .

Ответ: 3 025 дм³; 42 дм³; 7 000 мм³

Пример 5

Объём куба равен 125 см³. Найдите длину его ребра.

Ищем число $a$ , для которого $a \cdot a \cdot a = 125$ .
Пробуем: $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$ , мало. $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ , подходит.
Значит, ребро куба $a = 5$ см.

Ответ: 5 см

Пример 6

Ребро одного куба 2 см, а ребро другого в 3 раза больше. Во сколько раз объём второго куба больше объёма первого?

Ребро второго куба: $2 \cdot 3 = 6$ см.
Объёмы: $V_{1} = 2^{3} = 8$ см³, $V_{2} = 6^{3} = 216$ см³.
Делим: $216 : 8 = 27$ . Ребро выросло в 3 раза, а объём в $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ раз.

Ответ: в 27 раз

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Перемножают рёбра в разных единицах: 2 дм · 30 см · 10 см = 600. Сначала переведи: 20 см · 30 см · 10 см = 6 000 см³.
Переводят кубические единицы как обычные: пишут 1 дм³ = 10 см³ или 100 см³. Верно: 1 дм³ = 1 000 см³, ведь 10 · 10 · 10 = 1 000.
Путают куб числа с умножением на 3: объём куба с ребром 4 см считают как 4 · 3 = 12 см³. Верно: 4 · 4 · 4 = 64 см³.
Путают объём с площадью поверхности и пишут ответ в см² вместо см³. Объём всегда в кубических единицах.

Частые вопросы

Как найти объём прямоугольного параллелепипеда?

Перемножь длину, ширину и высоту:

V = ab c

. Например,

5 \cdot 6 \cdot 4 = 120 см^{3}

Как найти высоту, если известен объём?

Раздели объём на площадь основания:

h = V : S

. Например,

560 : (14 \cdot 8) = 5

см.

Сколько кубических сантиметров в литре?

1 л = 1 дм³ = 1000 см³.

Как найти ребро куба по объёму?

Подбери число, которое при умножении само на себя три раза даёт объём. Объём 125 см³, значит ребро 5 см:

5 \cdot 5 \cdot 5 = 125