Прямоугольник. Площадь прямоугольника

Возьми лист тетради. У него четыре угла, и все они «прямые» — как угол между полом и стеной. Это и есть прямоугольник.

У прямоугольника есть два полезных свойства — они пригодятся в задачах.

Длина и ширина. Большую из двух соседних сторон обычно зовут длиной, меньшую — шириной. Но в формулах это просто $a$ и $b$.

Периметр — это длина «забора» вокруг фигуры, то есть сумма всех четырёх сторон. Представь, что муравей обходит прямоугольник по краю — сколько он прошагает? Так как противоположные стороны равны, получаем: $P=a+b+a+b=2a+2b=2(a+b)$ Здесь $P$ — периметр, а $a$ и $b$ — соседние стороны.

Представь шоколадку. Она разбита на маленькие квадратные дольки. Вопрос «какая у шоколадки площадь?» — это, по сути, вопрос «сколько в ней долек?».

Площадь — это число, которое показывает, сколько единичных квадратов помещается внутри фигуры. Единичный квадрат — квадрат со стороной в одну единицу длины (например, $1$ см).

В чём измеряют площадь? Это зависит от того, в чём измерены стороны:

• стороны в сантиметрах → площадь в квадратных сантиметрах (см²);
• стороны в метрах → площадь в квадратных метрах (м²);
• стороны в дециметрах → площадь в квадратных дециметрах (дм²).

Почему именно квадраты? Возьми прямоугольник $3\times 4$ клетки и разбей его на квадратики. Получится $3$ ряда по $4$ квадратика — всего $3\cdot 4=12$ штук. Вот это число и есть площадь. Отсюда и берётся формула!

Осторожно: перевод единиц! Тут прячется любимая ловушка контрольных. В $1$ метре $10$ дециметров, но в $1$ м² — целых $100$ дм²! Почему? Площадь — это произведение ДВУХ длин, поэтому переводить нужно дважды: $1{\text{ м}}^2=(10\text{ дм}{)}^2=100{\text{ дм}}^2$ Запомни цепочку: $1{\text{ м}}^2=100{\text{ дм}}^2=10000{\text{ см}}^2$.

Откуда взялась формула? Вспомни шоколадку: в каждом ряду $a$ долек, а рядов $b$ штук. Сколько всего долек? Конечно, $a\cdot b$. Никакой магии — просто пересчёт квадратиков, только быстрый.

А если это квадрат? Квадрат — это особый прямоугольник, у которого ВСЕ стороны равны: $a=b$. Тогда площадь: $S=a\cdot a=a^2$ Кстати, теперь понятно, почему вторую степень числа называют «квадратом» — это буквально площадь квадрата!

Как найти сторону, если известна площадь? Площадь получилась умножением — значит, сторона найдётся обратным действием, делением: $a=S÷b,b=S÷a$ Это та же формула $S=a\cdot b$, просто «перевёрнутая». Как в примере $3\cdot 4=12$: если знаешь $12$ и $4$, то $12÷4=3$.

Это две РАЗНЫЕ вещи, и их часто путают. Запомни картинку:

• Периметр $P$ — это длина забора ВОКРУГ участка. Измеряется в обычных единицах длины: см, м, дм.
• Площадь $S$ — это сколько травы ВНУТРИ участка. Измеряется в квадратных единицах: см², м², дм².

Самое интересное: при одинаковом периметре площадь может быть разной! Сравни прямоугольник $1\times 5$ и квадрат $3\times 3$. Периметры одинаковые: $2(1+5)=12\text{и}2(3+3)=12$ А площади — совсем нет: $1\cdot 5=5\text{и}3\cdot 3=9$ Один и тот же забор, а травы внутри по-разному! Поэтому всегда внимательно читай задачу: что нужно найти — периметр или площадь? И проверяй единицы измерения в ответе.