Геометрическая прогрессия: задания с ответами, 9 класс

0 из 10

Геометрическая прогрессия

…

Примеры заданий с ответами

b_{1} = 4

q = 3

. Найди

b_{5}

Ответ: 324

2Геометрическая прогрессия задана первым членом

b_{1} = 3

и знаменателем

q = 2

. Найди четвёртый член

b_{4}

3Две геометрические прогрессии начинаются с

1

: первая со знаменателем

q = 2

, вторая со знаменателем

q = 3

. Какая из них растёт быстрее?

Чем больше знаменатель $q$ , тем быстрее растёт геометрическая прогрессия (при одинаковом первом члене).
У второй $q = 3 > 2$ , поэтому её члены растут быстрее.
Ответ: вторая ( $q = 3$ )

4Дано

b_{1} + b_{2} = 6

b_{2} + b_{3} = 12

— три подряд идущих члена геометрической прогрессии. Найди

b_{1}

Заметим, что $b_{2} + b_{3} = q (b_{1} + b_{2})$ , поэтому, разделив второе равенство на первое, получаем $q = \frac{b _{2} + b _{3}}{b _{1} + b _{2}} = \frac{12}{6} = 2$ .
Тогда $b_{1} + b_{2} = b_{1} (1 + q) = b_{1} (1 + 2) = 3 b_{1}$ , а это равно $6$ .
Отсюда $b_{1} = \frac{6}{3} = 2$ .
Ответ: $b_{1} = 2$ .

5Для ГП

b_{n - 1} b_{n + 1} = b_{1}^{2} q^{?}

. Найди показатель степени

q

(впиши выражение через

n

, например

2 n - 2

По формуле $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ : $b_{n - 1} = b_{1} q^{n - 2}$ , $b_{n + 1} = b_{1} q^{n}$ .
Перемножаем: $b_{n - 1} b_{n + 1} = b_{1}^{2} q^{(n - 2) + n} = b_{1}^{2} q^{2 n - 2} = (b_{1} q^{n - 1})^{2} = b_{n}^{2}$ .
Значит показатель равен $2 n - 2$ .
Ответ: $2 n - 2$ .

6Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия такова, что

b_{1} + b_{2} = 12

b_{2} + b_{3} = 4

. Найди сумму всей прогрессии

S

Вынесем общий множитель: $b_{1} + b_{2} = b_{1} (1 + q) = 12$ и $b_{2} + b_{3} = q \cdot b_{1} (1 + q) = 4$ .
Разделив второе на первое, получим $q = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ ; тогда из $b_{1} (1 + \frac{1}{3}) = 12$ находим $b_{1} = 12 \cdot \frac{3}{4} = 9$ .
Сумма бесконечной прогрессии $S = \frac{b _{1}}{1 - q} = \frac{9}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{9}{\frac{2}{3}} = 13, 5$ .
Ответ: $13, 5$ .