Углы. Виды углов

Представь ножницы. Два лезвия выходят из одного винтика — и между ними получается угол. Чем шире раскрываешь ножницы, тем больше угол.

Угол — это фигура из двух лучей, которые выходят из одной точки. Эта точка называется вершиной угла (это «винтик» ножниц), а лучи — сторонами угла (это «лезвия»).

Как назвать угол? Есть три способа:

• тремя буквами: $\angle ABC$. Средняя буква — всегда вершина! Здесь вершина — точка $B$, а $A$ и $C$ — точки на сторонах;
• одной буквой вершины: $\angle B$;
• цифрой внутри угла: $\angle 1$.

Запомни главное правило: при записи тремя буквами вершина стоит в середине. Если перепутать порядок, получится совсем другой угол — как если перепутать имя и фамилию.

Угол делит плоскость на две части: внутреннюю (между сторонами, как начинка в пироге) и внешнюю (всё остальное). Когда говорят «точка лежит внутри угла» — это значит, она в той самой «начинке».

Рост измеряют в сантиметрах, вес — в килограммах. А углы — в градусах. Значок градуса — маленький кружок: ${}^{\circ }$.

Откуда берётся градус? Представь, что ты крутанулся на месте на полный оборот — вернулся туда, куда смотрел. Этот полный оборот разделили на $360$ одинаковых кусочков. Один такой кусочек — это и есть $1^{\circ }$. Поэтому полный оборот равен $360^{\circ }$. Кстати, делить круг на $360$ частей придумали ещё в Древнем Вавилоне — тысячи лет назад!

Для измерения углов есть специальная линейка-полукруг — транспортир. Пользоваться им просто, всего три шага:

1. Поставь центр транспортира точно на вершину угла.
2. Поверни транспортир так, чтобы нулевая отметка легла на одну сторону угла.
3. Посмотри, через какое число на шкале проходит вторая сторона, — это и есть величина угла.

И важное свойство: равные углы имеют равные градусные меры. А если угол сложен из нескольких маленьких углов, то его мера равна их сумме — углы можно складывать и вычитать, прямо как числа!

Углы, как персонажи в игре, делятся на виды. Вид зависит от того, сколько в угле градусов.

Острый угол — «худенький», меньше прямого. Он больше $0^{\circ }$, но меньше $90^{\circ }$: $0^{\circ }<\angle A<90^{\circ }$ Здесь $\angle A$ — это сам угол. Примеры острых углов: $30^{\circ }$, $45^{\circ }$ и даже $89^{\circ }$.

Прямой угол — ровно $90^{\circ }$. Это угол страницы книги или уголок тетрадного листа. На чертеже его помечают маленьким квадратиком в вершине.

Тупой угол — «широкий», больше прямого, но ещё не распрямился до конца. Он больше $90^{\circ }$ и меньше $180^{\circ }$: $90^{\circ }<\angle A<180^{\circ }$ Примеры: $91^{\circ }$, $120^{\circ }$, $179^{\circ }$.

Развёрнутый угол — ровно $180^{\circ }$. Его стороны «развернулись» и легли на одну прямую, глядя в разные стороны. Как полностью раскрытая книга, лежащая на столе.

Внимание, ловушка! Углы $90^{\circ }$ и $180^{\circ }$ — не острые и не тупые. $90^{\circ }$ — это всегда прямой угол, а $180^{\circ }$ — всегда развёрнутый.

Какой угол больше? Тот, в котором больше градусов. Угол $40^{\circ }$ меньше угла $70^{\circ }$, потому что $40^{\circ }<70^{\circ }$. Всё как с деньгами: у кого больше число, у того и больше.

Есть и второй способ сравнить — наложить углы друг на друга, как трафареты. Совмещаем вершины и одну сторону: если один угол целиком спрятался внутри другого — он меньше.

А теперь про сложение. Представь кусок пиццы, разрезанный ещё раз: из одного куска получилось два, но вместе они — всё тот же кусок. С углами так же! Если луч выходит из вершины угла и проходит внутри него, он разрезает угол на два угла, и их градусы складываются. Пусть луч $BD$ проходит внутри угла $\angle ABC$ (здесь $B$ — вершина). Тогда: $\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC$

Это очень удобно для подсчётов. Например, если $\angle ABD=25^{\circ }$ и $\angle DBC=35^{\circ }$, то весь угол: $\angle ABC=25^{\circ }+35^{\circ }=60^{\circ }$ Работает и в обратную сторону: знаешь весь угол и один кусочек — вычти и найдёшь второй.

Помнишь, как делят шоколадку по-честному? Ровно пополам, чтобы никому не было обидно. У углов для честного дележа есть специальный луч.

Биссектриса — это луч, который выходит из вершины угла и делит его на два равных угла. Есть даже шутливая запоминалка: «биссектриса — это крыса, которая бегает по углам и делит их пополам».

Если луч $BD$ — биссектриса угла $\angle ABC$, то обе половинки равны: $\angle ABD=\angle DBC=\frac{\angle ABC}{2}$

То есть каждая часть — ровно половина всего угла. Например, если $\angle ABC=80^{\circ }$, биссектриса разрежет его на два угла по $40^{\circ }$.

Биссектрису можно провести у любого угла. Полезный случай, который стоит запомнить: биссектриса прямого угла даёт два угла по $45^{\circ }$, ведь $90^{\circ }:2=45^{\circ }$