8 класс Алгебра 10 мин чтения

Квадратичная функция y = ax² + bx + c, её свойства и график

Ангелина Владимировна, создатель и методист Пифики

Коротко: Квадратичная функция — функция вида y = ax² + bx + c, график которой является параболой, а её свойства (направление ветвей, вершина, нули) полностью определяются коэффициентами a, b, c.

Проверь себя · 1 из 3

Ордината вершины параболы

y = x^{2} + 8 x + 1

Квадратичные функции описывают траекторию брошенного мяча, профиль параболической антенны, форму арок мостов. Понимание параболы — ключ к квадратным уравнениям и неравенствам, которые встречаются повсюду в физике, экономике и технике.

y = ax² + bx + c — парабола

Содержание 9

Определение квадратичной функции

Квадратичная функция — это функция вида

$y = a x^{2} + b x + c,$

где $a$ , $b$ , $c$ — действительные числа, причём $a \neq = 0$ . Условие $a \neq = 0$ обязательно: если $a = 0$ , функция становится линейной.

$a$ — старший коэффициент (при $x^{2}$ ), определяет направление ветвей параболы.
$b$ — коэффициент при $x$ , влияет на горизонтальное положение вершины.
$c$ — свободный член, равен значению функции при $x = 0$ , то есть $y (0) = c$ .

Область определения квадратичной функции — все действительные числа: $x \in (- \infty; + \infty)$ .

Примеры квадратичных функций:

$y = 2 x^{2} - 3 x + 1$ (здесь $a = 2$ , $b = - 3$ , $c = 1$ )
$y = - x^{2} + 4$ (здесь $a = - 1$ , $b = 0$ , $c = 4$ )
$y = x^{2}$ (здесь $a = 1$ , $b = 0$ , $c = 0$ ) — простейший случай

Парабола: форма, ветви, вершина

График квадратичной функции называется параболой.

Направление ветвей определяет знак коэффициента $a$ :

Если $a > 0$ , ветви направлены вверх (парабола «улыбается»). Функция имеет наименьшее значение.
Если $a < 0$ , ветви направлены вниз (парабола «грустит»). Функция имеет наибольшее значение.

Вершина параболы — точка, в которой парабола «разворачивается». Абсцисса вершины:

$x_{0} = - \frac{b}{2 a} .$

Ординату вершины находят подстановкой: $y_{0} = f (x_{0})$ , то есть $y_{0} = a x_{0}^{2} + b x_{0} + c$ .

Вершину удобно также находить через дискриминант:

$y_{0} = - \frac{D}{4 a}, где D = b^{2} - 4 a c .$

Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x = x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ . Парабола симметрична относительно этой прямой: для любой точки на параболе найдётся симметричная ей точка с той же ординатой.

Чем больше $∣ a ∣$ , тем «уже» и «круче» парабола. Чем меньше $∣ a ∣$ , тем она «шире».

Нули функции и пересечения с осями

Нули квадратичной функции — значения $x$ , при которых $y = 0$ . Чтобы найти их, решают квадратное уравнение $a x^{2} + b x + c = 0$ .

Число нулей зависит от дискриминанта $D = b^{2} - 4 a c$ :

Знак $D$	Число нулей	Пересечение с $O x$
$D > 0$	два нуля $x_{1}$ , $x_{2}$	две точки
$D = 0$	один нуль $x_{0}$	одна точка (вершина)
$D < 0$	нулей нет	не пересекает

Формулы нулей при $D \geq 0$ :

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a} .$

Пересечение с осью $O y$ : подставляем $x = 0$ , получаем точку $(0; c)$ . Свободный член $c$ — это ордината точки пересечения с вертикальной осью.

Знак функции между нулями (при $D > 0$ , нули $x_{1} < x_{2}$ ):

Если $a > 0$ : $y < 0$ при $x_{1} < x < x_{2}$ ; $y > 0$ при $x < x_{1}$ и $x > x_{2}$ .
Если $a < 0$ : $y > 0$ при $x_{1} < x < x_{2}$ ; $y < 0$ при $x < x_{1}$ и $x > x_{2}$ .

Монотонность и экстремум

Экстремум квадратичной функции — это значение $y_{0}$ в вершине параболы.

При $a > 0$ : вершина — точка минимума. Функция убывает при $x < x_{0}$ и возрастает при $x > x_{0}$ .
При $a < 0$ : вершина — точка максимума. Функция возрастает при $x < x_{0}$ и убывает при $x > x_{0}$ .

Область значений:

При $a > 0$ : $y \geq y_{0}$ , то есть $y \in [y_{0}; + \infty)$ .
При $a < 0$ : $y \leq y_{0}$ , то есть $y \in (- \infty; y_{0}]$ .

Итог в виде схемы:

$a > 0$ , $D > 0$ : парабола пересекает $O x$ в двух точках, ветви вверх, минимум существует.
$a > 0$ , $D = 0$ : парабола касается $O x$ в вершине, ветви вверх.
$a > 0$ , $D < 0$ : парабола целиком выше $O x$ .
Для $a < 0$ — зеркально: замени «выше» на «ниже», «минимум» на «максимум».

Алгоритм построения графика

Чтобы аккуратно построить параболу $y = a x^{2} + b x + c$ , выполни шаги по порядку.

Направление ветвей. Определи знак $a$ : ветви вверх ( $a > 0$ ) или вниз ( $a < 0$ ).
Вершина. Вычисли $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ , затем $y_{0} = f (x_{0})$ . Отметь точку $(x_{0}; y_{0})$ .
Ось симметрии. Проведи пунктирную вертикаль $x = x_{0}$ .
Точка с осью $O y$ . При $x = 0$ получаем $(0; c)$ . Нанеси её и симметричную ей точку $(- \frac{b}{a}; c)$ относительно оси симметрии (если она удобна).
Нули (при наличии). Найди дискриминант $D = b^{2} - 4 a c$ . Если $D \geq 0$ , вычисли $x_{1, 2}$ и отметь точки на оси $O x$ .
Дополнительные точки. Возьми 1–2 значения $x$ по разные стороны от вершины, вычисли $y$ , нанеси точки и симметричные им.
Плавная кривая. Соедини все точки плавной кривой, не забывая, что парабола — гладкая, без изломов.

Ключевые формулы

y = a x^{2} + b x + c

Общий вид квадратичной функции (a ≠ 0)

x_{0} = - \frac{b}{2 a}

Абсцисса вершины параболы

D = b^{2} - 4 a c

Дискриминант квадратного трёхчлена

x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}

Нули функции при D ≥ 0

Запомни

Знак коэффициента a определяет направление ветвей: a > 0 — вверх (минимум), a < 0 — вниз (максимум).
Вершина параболы имеет абсциссу $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ ; это ось симметрии и точка экстремума.
Число нулей функции зависит от знака дискриминанта $D = b^{2} - 4 a c$ : при $D > 0$ — два нуля, при $D = 0$ — один, при $D < 0$ — нулей нет.
Свободный член c равен значению функции при x = 0, то есть это ордината точки пересечения параболы с осью Oy.
Парабола симметрична относительно вертикальной прямой $x = x_{0}$ : точки, равноудалённые от оси симметрии, имеют одинаковые значения $y$ .

Разбор примеров

Попробуй решить сам, потом сверься с решением.

Пример 1

Найдите вершину параболы y = x² − 4x + 3 и определите направление ветвей.

Определяем коэффициенты: a = 1, b = −4, c = 3. Так как a = 1 > 0, ветви направлены вверх.
Находим абсциссу вершины: $x_{0} = \frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$ .
Находим ординату вершины, подставляя $x = 2$ : $y_{0} = 1 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 3 = - 1$ .
Вершина параболы — точка (2; −1). Это минимум функции.

Ответ: Ветви направлены вверх, вершина (2; −1) — точка минимума.

Пример 2

Найдите нули функции y = x² − 5x + 6.

Вычисляем дискриминант: D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1.
Так как $D = 1 > 0$ , нулей два. Применяем формулу: $x_{1, 2} = \frac{5 \pm 1}{2 \cdot 1}$ .
$x_{1} = \frac{5 + 1}{2} = 3$ , $x_{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2$ .
Парабола пересекает ось Ox в точках (2; 0) и (3; 0).

Ответ: Нули функции: x₁ = 2, x₂ = 3.

Пример 3

Постройте схематично параболу y = −x² + 2x + 3, отметьте вершину, нули и точку пересечения с осью Oy.

Подсказка: При a < 0 не забудь: знаменатель в формуле нулей тоже отрицательный — аккуратно следи за знаками.

Коэффициенты: a = −1, b = 2, c = 3. Так как a = −1 < 0, ветви направлены вниз.
Ось симметрии и вершина: $x_{0} = \frac{- 2}{2 \cdot ( - 1 )} = 1$ . Затем $y_{0} = - 1^{2} + 2 \cdot 1 + 3 = 4$ . Вершина $(1; 4)$ — максимум.
Точка с осью Oy: при x = 0 получаем y = c = 3, точка (0; 3). Симметричная ей точка (2; 3).
Дискриминант: $D = 2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3 = 4 + 12 = 16$ . Нули: $x_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 4}{- 2}$ . Получаем $x_{1} = \frac{- 2 + 4}{- 2} = - 1$ и $x_{2} = \frac{- 2 - 4}{- 2} = 3$ .
Отмечаем точки: вершину (1; 4), нули (−1; 0) и (3; 0), точку (0; 3). Проводим плавную параболу ветвями вниз.

Ответ: Вершина (1; 4), нули x = −1 и x = 3, пересечение с Oy в точке (0; 3).

Пример 4

При каких значениях x функция y = 2x² − 8x + 6 принимает отрицательные значения?

Находим нули: $D = (- 8)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 64 - 48 = 16$ . Нули: $x_{1, 2} = \frac{8 \pm 4}{4}$ . Получаем $x_{1} = \frac{8 - 4}{4} = 1$ , $x_{2} = \frac{8 + 4}{4} = 3$ .
Так как a = 2 > 0, ветви направлены вверх: парабола лежит ниже оси Ox только между нулями.
Значит, y < 0 при 1 < x < 3.

Ответ: Функция принимает отрицательные значения при

x \in (1; 3)

Пифика в Telegram Подпишись, и ты первым узнаешь о новых темах, заданиях и статьях. Подписаться

Частые ошибки

Путают направление ветвей: при a < 0 ветви направлены вниз, вершина — максимум, а не минимум. Всегда проверяй знак a первым делом.
Вычисляют $x_{0} = \frac{b}{2 a}$ без минуса. Формула обязательно содержит знак «минус»: $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ .
Находят $x_{0}$ , но забывают вычислить $y_{0}$ — и отмечают вершину не в той точке. Вершина — это пара $(x_{0}; y_{0})$ , нужны обе координаты.
При D = 0 считают, что нулей два одинаковых, и рисуют параболу, пересекающую ось Ox дважды. На самом деле парабола касается оси ровно в одной точке — вершине.