Вписанный угол. Теорема о вписанном угле

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности, стороны которого являются радиусами. Центральный угол численно равен дуге, которую он стягивает (в градусах).

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны — хорды этой окружности. Говорят, что вписанный угол опирается на дугу (ту часть окружности, которая не содержит вершины угла).

Пример: если $A$, $B$, $C$ — точки на окружности, то $\angle BAC$ — вписанный угол, опирающийся на дугу $BC$ (ту, что не содержит точку $A$).

Если $\angle BOC$ — центральный угол (где $O$ — центр окружности), а $\angle BAC$ — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу $BC$, то: $\angle BAC=\frac{1}{2}\angle BOC$

Почему это так? (Идея доказательства.) Рассмотрим случай, когда центр $O$ лежит внутри вписанного угла. Проведём диаметр $AD$ из вершины $A$. Тогда $OA=OB=OC=R$ — радиусы, поэтому треугольники $OAB$ и $OAC$ равнобедренные. По теореме о внешнем угле треугольника: $\angle BOD=\angle OAB+\angle OBA=2\angle OAB$ Аналогично: $\angle COD=2\angle OAC$. Складывая: $\angle BOC=\angle BOD+\angle COD=2(\angle OAB+\angle OAC)=2\angle BAC$ Отсюда $\angle BAC=\frac{1}{2}\angle BOC$. Остальные случаи (центр снаружи или на стороне угла) доказываются аналогично — вычитанием вместо сложения.

Из основной теоремы вытекают три важных следствия.

Если $\angle BAC$ и $\angle BDC$ опираются на одну дугу $BC$ и вершины $A$, $D$ лежат на одной и той же дуге, то $\angle BAC=\angle BDC$, так как оба равны $\frac{1}{2}\angle BOC$.

Центральный угол, опирающийся на диаметр, равен $180^{\circ }$ (это развёрнутый угол). Значит, вписанный угол равен $\frac{1}{2}\cdot 180^{\circ }=90^{\circ }$.

Это свойство широко используется: если $BC$ — диаметр, то $\angle BAC=90^{\circ }$ для любой точки $A$ на окружности.

Если четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, то $\angle A+\angle C=180^{\circ }$ и $\angle B+\angle D=180^{\circ }$.

Удобно помнить: вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Если дуга $BC$ содержит $\alpha$ градусов, то вписанный угол $\angle BAC=\frac{\alpha }{2}$.

И обратно: дуга $=2\cdot$ (вписанный угол).

Пример. Дуга $BC=110^{\circ }$. Тогда любой вписанный угол, опирающийся на эту дугу: $\angle BAC=\frac{110^{\circ }}{2}=55^{\circ }$

Это позволяет находить углы через дуги и наоборот, не ища центрального угла явно.