Центральные и вписанные углы

Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности, стороны которого являются радиусами.

Если центральный угол $\angle AOB$ опирается на дугу $⌣AB$, то градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, которую он опирает: $\angle AOB=⌣AB$

Это не теорема, а определение: именно так вводится градусная мера дуги — через центральный угол, который её «вырезает» из окружности.

Важно понимать: у хорды $AB$ есть две дуги — меньшая и большая. Центральный угол соответствует той дуге, которая лежит внутри угла. Сумма двух дуг одной хорды равна $360^{\circ }$.

Вписанный угол — угол с вершиной на окружности, стороны которого являются хордами этой окружности.

Вписанный угол $\angle BAC$ опирается на ту же дугу $⌣BC$, что и центральный угол $\angle BOC$ (где $O$ — центр окружности).

Иначе говоря, вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: $\angle BAC=\frac{1}{2}⌣BC$

Доказательство (идея). Рассмотрим случай, когда центр $O$ лежит на одной из сторон угла, например на $AB$. Тогда $OA=OB=OC$ (радиусы), треугольник $OBC$ — равнобедренный. Внешний угол при вершине $O$ равен сумме двух равных углов при основании: $\angle BOC=2\angle BAC$. Остальные случаи (центр внутри угла, центр вне угла) сводятся к этому с помощью вспомогательного диаметра.

Из основной теоремы вытекают три важных следствия:

Если точки $A$, $D$, $E$ лежат на одной дуге (по одну сторону от хорды $BC$), то $\angle BAC=\angle BDC=\angle BEC$, так как каждый из них равен $\frac{1}{2}⌣BC$.

Если $BC$ — диаметр, то дуга $BC$ (полуокружность) равна $180^{\circ }$, и вписанный угол $\angle BAC=\frac{1}{2}\cdot 180^{\circ }=90^{\circ }$. Это теорема Фалеса.

Четырёхугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности.

Почему так? Угол $\angle A$ — вписанный, опирается на дугу $BCD$. Угол $\angle C$ — вписанный, опирается на дугу $BAD$. Дуги $BCD$ и $BAD$ в сумме дают полную окружность $360^{\circ }$, поэтому $\angle A+\angle C=\frac{1}{2}\cdot 360^{\circ }=180^{\circ }$.

Касательная к окружности в точке $A$ — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.

То есть угол между касательной $AT$ и хордой $AC$ равен вписанному углу $\angle ABC$, где $B$ — любая точка дуги $AC$, не содержащей точку $A$.

Практически: этот угол считается так же, как вписанный — как половина «своей» дуги. Это позволяет решать задачи, где касательная фигурирует в условии.