Системы линейных уравнений

Ты с другом сложил карманные деньги — вместе вышло 500 рублей. При этом у тебя на 100 рублей больше, чем у друга. Сколько у каждого? Обозначим: $x$ — твои деньги, $y$ — деньги друга. Получаем два условия сразу:

$\{\begin{array}{l}x+y=500\\ x-y=100\end{array}$

Фигурная скобка слева — главный знак системы. Она говорит: оба уравнения должны выполняться одновременно. Не «или одно, или другое», а строго вместе.

Система линейных уравнений с двумя переменными — это два уравнения вида $ax+by=c$, где $a$, $b$, $c$ — известные числа (коэффициенты), а $x$ и $y$ — неизвестные, и решение ищут общее для обоих уравнений.

Кстати, ответ в задаче про деньги: у тебя $x=300$, у друга $y=200$. Проверь: $300+200=500$ и $300-200=100$. Оба условия сработали!

Решение системы — это пара чисел $(x;y)$, которая превращает каждое уравнение системы в верное равенство. Не одно из них, а оба сразу.

Возьмём систему:

$\{\begin{array}{l}x+y=5\\ x-y=-1\end{array}$

• Пара $(5;0)$: первое уравнение верно ($5+0=5$), но второе — нет ($5-0=5\ne -1$). Не решение!
• Пара $(2;3)$: первое верно ($2+3=5$), второе тоже ($2-3=-1$). Вот это решение.

Решить систему — значит найти все её решения или доказать, что их нет. Записывают ответ парой в скобках: сначала $x$, потом $y$. Порядок важен: $(2;3)$ и $(3;2)$ — разные пары!

Идея простая, как обмен в игре: из одного уравнения выражаем одну переменную через другую и подставляем это выражение во второе уравнение. Остаётся одно уравнение с одной неизвестной — а такие ты уже умеешь решать.

План из четырёх шагов:

• Вырази из одного уравнения переменную (бери ту, у которой коэффициент $1$ — меньше дробей).
• Подставь полученное выражение во второе уравнение вместо этой переменной.
• Реши уравнение с одной переменной.
• Найденное число подставь обратно и найди вторую переменную.

Пример:

$\{\begin{array}{l}y=x+1\\ x+y=5\end{array}$

Здесь $y$ уже выражен — подставляем $x+1$ вместо $y$ во второе уравнение:

$x+(x+1)=5$

$2x=4,x=2$

Теперь возвращаемся: $y=x+1=2+1=3$. Ответ: $(2;3)$.

Если в уравнениях есть слагаемые-противоположности, например $+y$ и $-y$, можно сложить уравнения почленно: левую часть с левой, правую с правой. Противоположные слагаемые взаимно уничтожатся — одна переменная исчезнет сама.

$\{\begin{array}{l}2x+y=7\\ x-y=2\end{array}$

Складываем: $(2x+y)+(x-y)=7+2$, то есть

$3x=9,x=3$

Подставляем $x=3$ в любое уравнение (возьмём второе): $3-y=2$, значит $y=1$. Ответ: $(3;1)$.

А если противоположных слагаемых нет? Тогда сначала умножь одно или оба уравнения на подходящие числа, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными. Например, чтобы убрать $y$ из системы с $3y$ и $-2y$, умножь первое уравнение на $2$, а второе на $3$ — получится $6y$ и $-6y$. Помни: умножать нужно обе части уравнения целиком.

У каждого линейного уравнения $ax+by=c$ есть портрет — прямая на координатной плоскости. Каждая точка прямой — пара $(x;y)$, для которой уравнение верно.

Решение системы должно подходить обоим уравнениям, значит, точка должна лежать на обеих прямых сразу. А это и есть точка пересечения!

Отсюда три сценария:

Как понять без рисунка? Приведи оба уравнения к виду $y=kx+b$, где $k$ — угловой коэффициент (наклон прямой), а $b$ — место, где прямая пересекает ось $y$. Если $k$ разные — прямые пересекутся, одно решение. Если $k$ равны, а $b$ разные — параллельны, решений нет. Если совпали и $k$, и $b$ — это одна и та же прямая, решений бесконечно много.

Графический способ нагляден, но не всегда точен: если решение — дроби вроде $(\frac{1}{3};\frac{7}{6})$, на глаз его не поймать. Поэтому подстановка и сложение — основные рабочие инструменты.